Perkolation und Anzahl der Phasen im 2D-Ising-Modell

Aktualisieren. Da meine vorherige Figur konzeptionelle Fehler hatte, entschied ich mich, das Bild durch ein anderes, lehrreicheres zu ersetzen.

Nach langer Zeit kam ich zurück, um zu versuchen, einen Artikel über das Ising-Modell zu verstehen. Der Übersichtsartikel ist Percolation and number of phases in the 2D Ising model von Hans-Otto Georgii und Yasunari Higuchi (veröffentlicht 2000 im Journal of Mathematical Physics as Percolation and number of phases in the two-dimensional Ising model ).

Ich gestehe, dass seit der ersten Hälfte die Aussage des ersten Themas verloren gegangen ist. Für einen Experten sind meine Zweifel an der zweiten Hälfte des Beweises des nachstehenden Lemmas sicherlich primitiv.

Ich reproduziere unten die Aussage des Lemmas und seinen Beweis zusammen als einige Zahlen, um zu veranschaulichen, was ich in der ersten Hälfte der Demonstration des Lemmas getan habe.

Lema 2.1 (Existenz unendlicher Cluster) Wenn$\mu\in\mathcal{G}$unterscheidet sich von$\mu^-$, gibt es mit positiver Wahrscheinlichkeit ein Unendliches$+$Cluster. Das ist,$\mu(E^+)>0$Wenn$\mu\ne\mu^-$.

[Hier,$\mathcal{G}$ist die Menge der Gibbs-Maße des Ising-Modells der ersten Nachbarn im Netz$\mathbb{Z}^2$. Und$\mu^-$ist das extreme Gibbs-Maß, das durch thermodynamische Grenze von endlichen Volumenmaßen mit in negativem Vorzeichen fixierten Grenzen erhalten wird.$E^+$bezeichnet das Ereignis que gibt es einen unendlichen Cluster von Spins im Zustand$+$.]

Nachweisen. Nehme an, dass$\mu(E^+)=0$. Dann ein beliebiges Quadrat$\Delta$ist fast sicher von a umgeben$-*$Schaltung, und mit Wahrscheinlichkeit in der Nähe$1$eine solche Schaltung findet sich bereits innerhalb eines Quadrats$\Lambda\supset\Delta$bereitgestellt$\Lambda$ist groß genug. Wenn dies eintritt, lassen wir$\Gamma$sei die größte zufällige Teilmenge von$\Lambda$das ist das Innere eines solchen$-*$Schaltkreis. (Eine größte solche Menge existiert, weil die Vereinigung solcher Mengen wieder das Innere von a ist$-*$Schaltung.) Im alternativen Fall setzen wir$\Gamma=\emptyset$. Durch Maximalität,$\Gamma$von außen bestimmt wird [siehe Abbildung unten].

Soweit verstehe ich die Argumentation. Und in jedem Abschnitt dieses Theorems wiederholt sich dieses Argument in mehreren Demonstrationen. Aber was dann kommt, scheint einem Laien nicht verständlich zu sein. Ich habe keine Ahnung, wie die folgenden Eigenschaften die gewünschte Gleichheit durch die folgende Anweisung erhalten:

Fortsetzung des Beweises: Die starke Markov-Eigenschaft zusammen mit der stochastischen Monotonie $\mu^-_\Gamma\preceq \mu^-$impliziert daher (in der Grenze$\Lambda\uparrow\mathbb{Z}^2$) Das$\mu\preceq\mu^-$An$\mathcal{F}_\Delta$. Seit$\Delta$war willkürlich und$\mu^-$ist minimal finden wir das$\mu=\mu^-$, und das Lemma ist bewiesen. $\Box$

Frage: Wie benutzt man die starke Markov-Eigenschaft und die stochastische Monotonie , um den Beweis des Lemmas zu vollenden? Unterhalb der Eigenschaften verwendet, wie in Artikel dargelegt.

$\bullet$die starke Markov-Eigenschaft von Gibbs Maßnahmen, die besagt, dass$\mu(\cdot\,|\mathcal{F}_{\Gamma^c})(\omega) =\mu_{\Gamma(\omega)}^\omega$für$\mu$-fast alles$\omega$Wenn$\Gamma$ist eine endliche zufällige Teilmenge von$\mathbb{Z}^2$die von außen bestimmt wird, in dem$\{\Gamma=\Lambda\}\in\mathcal{F}_{\Lambda^c}$für alle endlich$\Lambda$, Und$\mathcal{F}_{\Gamma^c}$ist der$\sigma$-Algebra aller Ereignisse$A$außen$\Gamma$, in dem Sinne, dass$A\cap \{\Gamma=\Lambda\}\in\mathcal{F}_{\Lambda^c}$für alle endlich$\Lambda$. (Unter Verwendung der Konventionen$\mu_{\emptyset}^\omega=\delta_\omega$Und$\mathcal{F}_{\emptyset^c}=\mathcal{F}$das können wir durchaus zulassen$\Gamma$nimmt den Wert$\emptyset$.) Zum Beweis
teilt man einfach$\Omega$in die disjunkten Mengen$\{\Gamma=\Lambda\}$für endlich$\Lambda$.

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$\bullet$die stochastische Monotonie (oder FKG-Ordnung) von Gibbs-Verteilungen; Schreiben$\mu\preceq\nu$Wenn$\mu(f)\leq\nu(f)$für alle zunehmenden lokalen (oder äquivalent alle zunehmenden begrenzt messbaren) reellen Funktionen$f$An$\Omega$, wir haben$\mu_{\Lambda}^\omega\preceq\mu_{\Lambda}^{\omega'}$Wenn$\omega\leq\omega'$, Und
$\mu_{\Lambda}^\omega\preceq\mu_{\Delta}^\omega$Wenn$\Delta\subset\Lambda$Und$\omega\equiv +1$An$\Lambda\setminus\Delta$(Die umgekehrte Beziehung gilt, wenn$\omega\equiv -1$An$\Lambda\setminus\Delta$).