Permutation der Buchstaben des Wortes CATERING, die unter Berücksichtigung der angegebenen Einschränkungen vorgenommen werden kann

Ihre Antworten für die Teile c, d, e und f sind richtig. Ihre Begründung für die Teile d und e ist jedoch unklar.

Wie viele „Wörter“ können aus den Buchstaben des Wortes CATERING mit unterschiedlichen Permutationen gebildet werden, wenn zwei Vokale und zwei Konsonanten ohne Wiederholung verwendet werden müssen?

Wir wählen aus, welche Vokale und welche Konsonanten verwendet werden, und ordnen sie dann an. Es gibt drei Möglichkeiten, zwei der drei Vokale auszuwählen (entscheiden Sie, welcher Vokal weggelassen werden soll). Es gibt fünf Möglichkeiten, den ersten Konsonanten auszuwählen, und vier Möglichkeiten, den zweiten Konsonanten auszuwählen. Dies zählt jedoch jede Auswahl von zwei Konsonanten zweimal, einmal für jede Reihenfolge, in der wir dieselben zwei Konsonanten hätten auswählen können. Daher gibt es

$$\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$ Möglichkeiten, zwei der fünf Konsonanten für das "Wort" auszuwählen. Daher gibt es$3 \cdot 10$Möglichkeiten, die zwei Vokale und zwei Konsonanten auszuwählen, die im "Wort" und erscheinen$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$Möglichkeiten, die vier verschiedenen Buchstaben anzuordnen. Somit gibt es $$3 \cdot 10 \cdot 4! = 3 \cdot 10 \cdot 24 = 720$$ Permutationen, die durch Auswahl von zwei Vokalen und zwei Konsonanten aus den Buchstaben des Wortes CATERING ohne Wiederholung gebildet werden können.

Wie viele „Wörter“ können aus den Buchstaben des Wortes CATERING mit unterschiedlichen Permutationen gebildet werden, wenn drei Vokale und ein Konsonant ohne Wiederholung verwendet werden müssen?

Wir müssen alle Vokale verwenden. Es gibt fünf Möglichkeiten, um auszuwählen, welcher Konsonant verwendet wird. Es gibt$4!$Möglichkeiten, die vier ausgewählten Buchstaben anzuordnen. Daher gibt es

$$5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120$$ Permutationen, die gebildet werden können, indem alle drei Vokale und ein Konsonant aus den Buchstaben des Wortes CATERING ohne Wiederholung ausgewählt werden.

Wie viele „Wörter“ können aus den Buchstaben des Wortes CATERING mit unterschiedlichen Permutationen gebildet werden, wenn mindestens zwei Vokale und mindestens zwei Konsonanten ohne Wiederholung in sechsbuchstabigen „Wörtern“ verwendet werden müssen?

Da es nur drei Vokale gibt, müssen zwei Fälle betrachtet werden, zwei Vokale und vier Konsonanten oder drei Vokale und drei Konsonanten.

Lassen Sie uns Ihnen eine Strategie zur Umsetzung geben.

Zwei Vokale und vier Konsonanten: Wählen Sie aus, welche zwei Vokale verwendet werden sollen (wie viele Möglichkeiten gibt es, einen der Vokale wegzulassen?). Wählen Sie aus, welche vier Konsonanten Sie verwenden möchten (wie viele Möglichkeiten können Sie einen der Konsonanten weglassen?). Ordnen Sie die sechs verschiedenen Buchstaben, die Sie ausgewählt haben.

Drei Vokale und drei Konsonanten: Sie müssen alle drei Vokale verwenden. Wählen Sie aus, welche drei der fünf Konsonanten Sie verwenden werden, und denken Sie daran, in wie vielen Reihenfolgen Sie dieselben drei Konsonanten hätten auswählen können. Ordnen Sie die sechs verschiedenen Buchstaben, die Sie ausgewählt haben.

Die Anzahl der Möglichkeiten, wie Sie drei der fünf Konsonanten auswählen können, ist

$$\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$ da es fünf Möglichkeiten gibt, den ersten Konsonanten auszuwählen, vier Möglichkeiten, den zweiten Konsonanten auszuwählen, und drei Möglichkeiten, den dritten Konsonanten auszuwählen. Durch Multiplizieren dieser Zahlen wird jedoch jede ungeordnete Auswahl von drei Konsonanten sechsmal gezählt, einmal für jeden der$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1$Reihenfolgen, in denen Sie die gleichen drei Konsonanten hätten auswählen können. Dieses Argument lässt sich leichter mit Kombinationen handhaben , weshalb ich Sie gefragt habe, ob Sie sie schon gelernt haben.