Physikalische Bedeutung des Multipolmoments

Stellen Sie sich Multipol-Momente zunächst nicht als getrennte Dinge vor, die ihre eigene individuelle Bedeutung haben. Betrachten Sie sie stattdessen als Teile einer Sache. Sobald wir alle Teile aufgeschrieben haben, können wir damit beginnen, jeden einzelnen zu benennen und zu organisieren, um seinen Beitrag zum Ganzen zu bestimmen.

Nun zu deiner Frage

Gibt es eine physikalische Interpretation für Multipolmomente?

Ja! Und sie müssen nicht unbedingt etwas mit Elektrostatik, Kugelfunktionen oder geometrischen Reihen zu tun haben. Eine Multipolerweiterung eines Objekts auf irgendeiner Basis sagt Hmmm, ich habe dieses komisch geformte Ding, das keine elementare mathematische Funktion ist, aber ich möchte es als Summe elementarer Funktionen ausdrücken. (Fourier oder jemand hat gesagt, dass man das immer mit genügend Tinte und Pergament machen kann.)

Sie wählen also zuerst Ihre Basis aus, ob es sich um Sinuswellen oder Exponentiale oder Polynome oder ähnliches handelt, und fügen dann immer mehr Terme dieser Basis hinzu, beginnend mit der niedrigstwertigen (einfachsten) Komponente.

Betrachten Sie als nicht mathematisches Beispiel diese Zeichnung eines Cartoon-Schafs:

Schritt 1 ist sehr einfach, da es im Grunde ein Oval mit Wellen ist. Auf Anhieb haben wir mit dem allerersten, was wir gezeichnet haben, etwa 75 % dessen ausgedrückt, wie die Schafe aussehen werden. Dies ist bei Multipolentwicklungen wichtig: Die Terme niedrigster Ordnung dominieren . Wenn Schritt 1 ein Quadrat oder ein Dreieck wäre, wäre das ganze Schaf wahrscheinlich nicht wiederzuerkennen.

Schritt 2 macht zwei Dinge: Er fügt der Zeichnung hinzu und verändert etwas von dem, was Schritt 1 getan hat. Sie haben vielleicht gehört, dass dies ein Korrekturbegriff oder ein Begriff höherer Ordnung genannt wird . Dies wäre der zweite Term in Ihrer Multipolerweiterung.

Schritt 3 fügt dem Bild weniger hinzu als Schritt 2, aber schauen Sie, wie weit wir gekommen sind. Mit nur den ersten drei Multipolen wette ich, dass ein großer Prozentsatz der Menschen unser Tier bereits als Schaf erkennen würde. Wenn wir, anstatt ein Schaf mit Blobs zu zeichnen, ein E&M-Feld mit Legendre-Polynomen konstruieren, hören wir hier auf, da wir eine gute physikalische Sicht auf das haben, was passiert (dies ist der Kompromiss zwischen Einfachheit und Genauigkeit, der in allen Multipol-Erweiterungen vorhanden ist ).

Zusätzliche Schritte fügen nur mehr Details hinzu und füllen die Lücken in den Daten auf Kosten von mehr Arbeit und mehr Bleistiftmarkierungen.

Was ist die physikalische Interpretation von Multipolmomenten höherer Ordnung?

In E&M brechen wir die willkürlich aussehende Ladungsverteilung in Multipole auf, in der Hoffnung, mit so wenigen Details wie möglich so viele Schafe zu zeichnen, wie wir brauchen. Die Multipole sehen so aus:

• 0. der Monopol, der Offset, der das E-Feld in alle Richtungen gleich beeinflusst

• 1. der Dipol, die Beschreibung, wie unterschiedlich zwei Feldhälften wären, wenn man eine Symmetrielinie genau durch die Mitte ziehen würde

• 2. der Quadrupol, ein ähnliches Konzept wie der Dipol, aber anstatt zwei Richtungen unterschiedlich zu beeinflussen, beeinflusst man vier Richtungen

Und Sie können bis zu einem so hohen Multipol gehen, wie Sie möchten (technisch gesehen müssen Sie bis ins Unendliche gehen, um ein beliebiges Schaf perfekt neu zu zeichnen, aber das ist nicht nützlich, wenn wir nur versuchen, bestimmte Eigenschaften des Systems innerhalb von a vorherzusagen endliche Genauigkeit zu Beginn).

Zusammenfassung

Eine Multipolerweiterung von irgendetwas zerlegt es einfach in eine bevorzugte Basis. Wenn wir eine gute Basis ausgewählt haben, brauchen wir nur die ersten paar Multipole, weil wir danach nur Details ausbessern, die wir nie brauchen werden. Einige Multipole sind so nützlich, dass wir ihnen Namen geben, wie die E&M-Ladungsverteilung, die alles isometrisch (Gesamtladung) und antisymmetrisch (Dipol) beeinflusst.