Potenziale in QM vs. Klassische Mechanik

Ich bin ein wenig verwirrt über den Begriff der Potenziale. In der klassischen Mechanik machen wir uns nie Sorgen um den Wert eines Potentials, wir kümmern uns immer hauptsächlich um die Art und Weise, wie sich ein Potential ändert oder um die Potentialdifferenz zwischen Punkten. Wir können unser Potenzial immer so einstellen, dass es überall einen beliebigen Wert hat (meistens).

Andererseits verwenden wir in der Quantenmechanik explizit den Wert des Potentials v ( R ) . Gibt es einen Unterschied in der Quantenmechanik zwischen den Potentialen v 1 ( X ) = v ( X ) Und v 2 ( X ) = v ( X ) + C ?

Wenn wir diese beiden Potentiale in die Schrödinger-Gleichung einbeziehen, gibt es einen Unterschied zwischen den Lösungen, die wir erhalten.

Es ist genau wie in der klassischen Mechanik. Wenn Sie das Potenzial verschieben wollen, müssen Sie auch die Gesamtenergie verschieben. Dann kommt die Schrödinger-Gleichung genau gleich heraus.

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Sie haben Recht, dass die Lösungen nicht genau gleich herauskommen. Wenn wir uns jedoch die Schrödinger-Gleichung mit der hinzugefügten Konstante ansehen,

ich ℏ ∂ ∂ T | ψ ⟩ = ( H ^ + C ) | ψ ⟩

das merken wir, wenn wir es zulassen

| ψ ⟩ = e − ich C T / ℏ | ψ ' ⟩

dann wird die Schrödinger-Gleichung

ich ℏ ∂ ∂ T | ψ ⟩ = e − ich C T / ℏ ⋅ ich ℏ ∂ ∂ T | ψ ' ⟩ + C e − ich C T / ℏ | ψ ' ⟩ = ( H ^ + C ) e − ich C T / ℏ | ψ ' ⟩

Was vereinfacht zu

ich ℏ ∂ ∂ T | ψ ' ⟩ = H ^ | ψ ' ⟩

Mit anderen Worten, die Energie um eine Konstante verschieben C entspricht der Multiplikation aller Zustände mit dem Phasenfaktor e − ich C T / ℏ . Da dieser Einheitsfaktor auf jeden Zustand angewendet wird, hebt er sich in allen physikalischen Berechnungen (z. B. Erwartungswerten) auf und hat somit keinen Einfluss auf die Vorhersagen der Theorie.

Die klassische Physik ist unempfindlich gegenüber Verschiebungen der potentiellen Energie, da messbare physikalische Größen nur von Ableitungen des Potentials abhängen. In ähnlicher Weise ist die Quantenmechanik unempfindlich gegenüber Verschiebungen der potentiellen Energie, da messbare physikalische Größen nur von inneren Produkten zwischen Zuständen und der durch die Potentialverschiebung induzierten Transformation abhängen ( | ψ ⟩ → e − ich C T / ℏ | ψ ⟩ ) ist unitär , was bedeutet, dass die inneren Produkte unverändert bleiben. Beides sind besondere Beispiele für den allgemeineren Begriff der Eichinvarianz .

Ich würde +2 geben, wenn ich könnte, um auf die Relevanz der Eichinvarianz hinzuweisen

Potenziale in QM und klassischer Mechanik sind genau gleich. Tatsächlich ist ein Grund, warum die klassische Mechanik im Lagrange- oder Hamilton-Formalismus (beide auf der Grundlage des Potentials) dem Newton-Formalismus (der das Konzept der Kraft einführt) vorgezogen wird, weil die gleichen maßgeblichen Gleichungen auf die meisten Probleme verallgemeinert werden und auch eine ebnen einfacher Übergang zum QM.

Sehen wir uns das Spektrum der beiden Hamilton-Operatoren an H = T + v mit Eigenwerten { E N } und Eigenzustände { ψ N }

H ψ N = E N ψ N
Betrachten Sie nun die Wirkung des neuen Hamiltonoperators (mit verschobenem Potential) H ' = H + C auf der ψ N
H ' ψ N = ( H + C ) ψ N = E N ψ N + C ψ N = ( E N + C ) ψ N
was gleichbedeutend damit ist, dass die Eigenwerte, die die möglichen Energiemessungen sind, der neuen Referenz für das Potential entsprechen
E N ' = E N + C
was Sie im klassischen Szenario erwarten würden.

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