Annäherung an die Taylor-Reihe für einen harmonischen Oszillator

Die elastische potentielle Energie ist definiert als

v ( X ) = 1 2 k X 2 .

Dann nehmen Sie den Punkt an X = X 0 ist der Punkt eines lokalen Minimums.

Wir wissen, dass jedes Potential um ein lokales Minimum ziemlich gut angenähert werden kann.

Zitat aus dem Buch "Introduction of Quantum Mechanics by David Griffiths":

Formal, wenn wir expandieren v ( X ) in der Taylor-Reihe über das Minimum, v ( X ) = v ( X 0 ) + v ' ( X 0 ) ( X − X 0 ) + 1 2 v " ( X ) ( X − X 0 ) 2 + . . .

Er geht zu sagt

Subtrahieren v ( X 0 ) ( Sie können eine Konstante hinzufügen v ( X ) ungestraft, denn das ändert nichts an der Kraft )

Ich habe Probleme zu verstehen, warum eine Konstante hinzugefügt wird v ( X ) ändert die elastische potentielle Energie nicht. Ist es weil v ( X 0 ) ist so klein, dass es vernachlässigbar wird?

Nein: Es liegt daran, dass die Kraft der Gradient der potentiellen Energie ist, sodass der konstante Term beim Bilden der Ableitung wegfällt. Dies ist eine genaue Aussage, keine ungefähre. Daher ändert ein konstanter Offset das resultierende Verhalten nicht.
Ist Kraft nicht das Negative des Gradienten der potentiellen Energie?
@March Ich sehe, was los ist. Beifall
Tippen auf einem Telefon. Wollte Briefe konservieren. Das Fazit ist aber das gleiche.
@march Das sollte wahrscheinlich eine Antwort sein.
@Danu. Wird bald gemacht.

Antworten (2)

Zuerst einen Teil der Frage ansprechen: Das Verschieben der potentiellen Energie ändert offensichtlich die potentielle Energie; es ändert einfach überhaupt nichts am Verhalten des Systems. Es folgen Erläuterungen für den klassischen und den Quantenfall.

In der klassischen Mechanik ändert sich das Verhalten eines Systems nicht, wenn die potentielle Energie um einen konstanten Betrag verschoben wird. Der einfache Beweis lautet wie folgt. Das kinematische Verhalten wird durch Kräfte bestimmt, und die Kraft ist der negative Gradient der potentiellen Energie. Daher verschwindet jeder konstante Offset-Term beim Bilden von Derivaten:

F = − ∇ → ( U ( X ) + C ) = − ∇ → U ( X ) − ∇ → C = − ∇ → U ( X )

In der Quantenmechanik haben wir die gleiche Situation, aber der Beweis ist ganz anders. Betrachten Sie einen Hamilton-Operator H und füge einen konstanten Offset hinzu, was einen zweiten Hamilton-Operator ergibt H ' = H + C . Zu sagen, dass das Verhalten des Systems gleich ist, bedeutet, dass alle Erwartungswerte in beiden Fällen gleich sind. Bedenken Sie also Folgendes. Vermuten | ψ ' ( T ) ⟩ erfüllt die Schrödinger-Gleichung (Einstellung ℏ = 1 )

ich ∂ ∂ T | ψ ' ( T ) ⟩ = ( H + C ) | ψ ' ( T ) ⟩ .
Definieren Sie einen transformierten Zustand durch
| ψ ( T ) ⟩ = e − ich C T | ψ ' ( T ) ⟩ .
Es ist einfach zu zeigen (unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite der Schrödinger-Gleichung), dass | ψ ( T ) ⟩ erfüllt
ich ∂ ∂ T | ψ ( T ) ⟩ = H | ψ ( T ) ⟩ .
Schließlich, wenn wir Erwartungswerte von einem willkürlichen nehmen A ^ ,
⟨ ψ ' ( T ) | A ^ | ψ ' ( T ) ⟩ = ⟨ ψ ( T ) | e ich C T A ^ e − ich C T | ψ ( T ) ⟩ = ⟨ ψ ( T ) | A ^ | ψ ( T ) ⟩ ,
so dass die Erwartungswerte dieser beiden Zustände gleich sind, obwohl sie leicht unterschiedliche Schrödinger-Gleichungen erfüllen. Somit erhalten wir das gleiche Verhalten und daher H Und H + C sind äquivalente Hamiltonoperatoren, wobei der zweite lediglich eine Verschiebung des ersten ist.

Da F = -dV / dx ist, ändert das Hinzufügen einer Konstanten C zu V die Kraft nicht

Annäherung an die Taylor-Reihe für einen harmonischen Oszillator
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