Poynting-Vektor eines Drahtes zwischen Kondensatoren

Question

Poynting-Vektor eines Drahtes zwischen Kondensatoren

Benutzer15941

Ein Kondensator aus zwei kreisförmigen Platten mit Radius $L$ getrennt durch $d$ , zunächst die Platten tragen $\pm$ Q-Ladung.

Dann wird ein Draht des Widerstands R dazwischen gelegt, wie gehe ich vor, um einen zeitabhängigen Ausdruck abzuleiten

Antworten (2)

Poynting-Vektor eines Drahtes zwischen Kondensatoren

Was stellt der Poynting-Fluss dar?
Was passiert, wenn Sie eine Batterie verwenden, um einen Kondensator vollständig aufzuladen, und dann die Batterie abklemmen, wo geht die Ladung hin?
Kann in einem einfachen Stromkreis Strom fließen, wenn ich die Batterie in einen Faraday-Käfig einschließe?
Warum wird gegen das elektrische Feld gearbeitet, um Ladungen zum Laden eines Kondensators zu bewegen?
Klappt die Gleichung CV = q auf, wenn V klein oder ein Draht sehr lang ist?
Übertragene Leistung und Satz von Poynting Widerspruch?
Ein dielektrischer Tisch wird zwischen einem Plattenkondensator und △U<0△U<0\triangle U<0 eingefügt, wie lässt sich ableiten, dass der Tisch von den Platten angezogen wird?
Warum ist das Feld in einem Kondensator nicht die Summe des von jeder Platte erzeugten Feldes?
Bestrahlungsstärke (oder Intensität) einer elektromagnetischen Welle
Welchen praktischen Nutzen haben LC-Oszillationen?

Kunst Braun · Answer 1

Diese Frage klingt wie eine Hausaufgabe, aber sie ist zu süß, um nicht darauf einzugehen ...

Die Kapazität $C = \epsilon \pi L^2 /d$ und Widerstand $R$ bilden eine einfache Schaltung erster Ordnung mit Spannung $v(t)$ und aktuell $i(t)$ gegeben von:

v (T) = v (0) e^{- T / τ}, ich (T) = \frac{v (0)}{R} e^{- T / τ} = \frac{Q}{τ} e^{- T / τ}

$v(t)=v(0)e^{-t/\tau} \, , \, i(t) = \frac{v(0)}{R} e^{-t/\tau} = \frac{Q}{\tau} e^{-t/\tau}$

mit

v (0) = Q / C, τ = R C

$v(0)=Q/C \, , \, \tau=RC$

Notiz $v=iR$ zu allen Zeiten (entspricht der Vernachlässigung der Drahtinduktivität).

Zur Berechnung des Poynting-Vektors $\boldsymbol{P}$ wir brauchen die $\boldsymbol{E}$ Und $\boldsymbol{B}$ Felder.

1) Vernachlässigung von Streufeldern, dem elektrischen Feld $E$ zwischen den Kondensatorplatten ist gerade $v(t)/d$ (unabhängig davon, wo zwischen den Platten gemessen wird):

E = - \frac{v (T)}{D} \hat{z} = - \frac{ich (T) R}{D} \hat{z} = - \frac{Q}{C D} e^{- T / τ} \hat{z} = - \frac{1}{ϵ} \frac{Q}{π L^{2}} e^{- T / τ} \hat{z}

$\boldsymbol{E} = - \frac{v(t)}{d} \boldsymbol{\hat{z}} = - \frac{i(t)R}{d} \boldsymbol{\hat{z}} = - \frac{Q}{Cd} e^{-t/\tau} \, \boldsymbol{\hat{z}} = - \frac{1}{\epsilon} \frac{Q}{\pi L^2} e^{-t/\tau} \, \boldsymbol{\hat{z}}$

wobei ich Zylinderkoordinaten eingeführt habe, wobei z von der -Q "unteren" Platte (unten) zur +Q "oberen" Platte zunimmt, sodass das elektrische Feld in die zeigt $-\boldsymbol{\hat{z}}$ Richtung.

(Beachten Sie, dass das elektrische Feld erwartungsgemäß nur die Oberflächenladungsdichte ist $/ \epsilon$ .)

2) Jetzt das B-Feld. Ich bin mir nicht sicher, wo genau Sie den Draht positioniert haben, also gehe ich davon aus, dass er sich auf der Z-Achse befindet, was der einfachste (und für mich interessanteste) Fall ist. Bei dieser Anordnung fließt der Drahtstrom entlang der z-Achse von der oberen zur unteren Platte.

Da der Strom und das elektrische Feld vertikal sind, $\boldsymbol{B}$ ist rein azimutal: $\boldsymbol{B} = B_\theta \boldsymbol{\hat{\theta}}$ .

Anwendung des verallgemeinerten Ampere-Gesetzes (Verschiebungsstrom nicht vergessen!) auf eine Kreisfläche (innerhalb des Kondensators) mit Radius $r, 0<r<L$ , zentriert auf der z-Achse, erhält man:

2 π R \frac{B_{θ}}{μ} = - ich + π R^{2} ϵ \frac{D E}{D T} = - ich + π R^{2} ϵ \frac{Q}{τ C D} e^{- T / τ} = - ich [1 - {(\frac{R}{L})}^{2}]

$2 \pi r \frac{B_\theta}{\mu} = -i + \pi r^2 \epsilon \frac{d\boldsymbol{E}}{dt} = -i + \pi r^2 \epsilon \frac{Q}{\tau Cd} e^{-t/\tau} = -i\left[ 1 - \left(\frac{r}{L}\right)^2 \right]$

( $-i$ weil der Strom nach unten fließt, und seit $\boldsymbol{E}$ zeigt nach unten, nimmt aber an Größe ab, $d\boldsymbol{E}/dt$ Punkte nach oben.)

Der Beitrag des Verschiebungsstroms tendiert dazu, den des Elektronenstroms aufzuheben, wobei er vollständig aufgehoben wird $r=L$ (erwartet, da der gesamte Verschiebungsstrom gleich dem Elektronenstrom ist).

Abschluss der Berechnung,

B = - \frac{μ ich}{2 π R} [1 - {(\frac{R}{L})}^{2}] \hat{θ}

$\boldsymbol{B} = - \frac{\mu i}{2 \pi r} \left[ 1 - \left(\frac{r}{L}\right)^2 \right] \boldsymbol{\hat{\theta}}$

P = \frac{1}{μ} E \times B = - \frac{1}{2 π R D} {ich}^{2} (T) R [1 - {(\frac{R}{L})}^{2}] \hat{R}, 0 < R < L

$\boldsymbol{P} = \frac{1}{\mu} \boldsymbol{E \times B} = - \frac{1}{2 \pi r d} i^2(t) R \left[1-\left(\frac{r}{L}\right)^2 \right] \boldsymbol{\hat{r}} \, , \, 0<r<L$

Wenn sich der Kondensator entlädt, fließt seine gespeicherte Energie nach innen in den Draht (daher die $-\boldsymbol{\hat{r}}$ Richtung von $P$ ), wo es abgeführt wird. Die Kondensatorenergie ist in seinem Radius enthalten $L$ , Und $\boldsymbol{P}$ an dieser Grenze entsprechend auf 0 ab, da keine Energie von außerhalb der Kondensatorstruktur einströmt.

Wenn Sie unten eine negativ geladene Platte und oben eine positiv geladene Platte haben, wie Sie angegeben haben, würde ein in -z-Richtung fließender Strom den Kondensator aufladen und ihn nicht entladen, wobei der Strom selbst der Fluss von ist positive Ladung. Das heißt, der Verschiebungsstrom fließt in die gleiche Richtung wie das E-Feld.
@psitae, in diesem Fall lädt der Strom den Kondensator nicht von einer externen Quelle, sondern entlädt den Kondensator über einen Draht, der die positiven und negativen Platten verbindet (und eine einfache RC-Schaltung bildet).

Fabian · Answer 2

Sie müssen zuerst den zeitabhängigen Strom ableiten $I(t)$ die durch den Draht läuft.

Der Kondensator wird durch die Beziehung beschrieben

\begin{matrix} (1) & Q (T) = C v (T) \end{matrix}

$Q(t) = C V(t) \tag1$ mit

C = ϵ π L^{2} / d

$C= \epsilon \pi L^2/d$ Und

ϵ

$\epsilon$ die Dielektrizitätskonstante des Mediums zwischen den beiden Platten.

Der Draht wird beschrieben durch

\begin{matrix} (2) & v (T) = R ICH (T) . \end{matrix}

$V(t) = R I(t). \tag2$

Ladungserhaltungserträge

\begin{matrix} (3) & \dot{Q} (T) = ICH (T) . \end{matrix}

$\dot Q(t) = I(t). \tag3$

Nehmen wir die zeitliche Ableitung von (1) und setzen wir (3) und dann (2) ein, erhalten wir

R C \dot{ICH} (T) = ICH (T)

$RC \,\dot{I}(t) = I(t)$ mit der Lösung

ICH (T) = {ICH}_{0} e^{- T / R C}, {ICH}_{0} = \frac{Q}{C R} = \frac{Q D}{ϵ π L^{2} R} .

$I(t) = I_0 e^{-t/RC}, \qquad I_0 = \frac{Q}{CR} = \frac{Qd}{\epsilon\pi L^2 R}.$

Das elektrische Feld $E(t)$ im Kondensator ist über den gesamten Kondensator konstant (in der Grenze von $L/d \gg 1$ ) und zeigt entlang der Achse des Kondensators. Ist gegeben durch $E(t) = V(t)/d =R I(t)/d$ .

Ebenso das Magnetfeld $B(t)$ steht immer senkrecht zum elektrischen Feld und kräuselt sich um die Achse des Kondensators. Seine Größe ist gegeben durch $B(t) = \mu_0 I(t)/2\pi r$ mit $r$ der (radiale) Abstand zur Achse.

Zusammen ist die Größe des Poynting-Vektors gegeben durch

| P (T) | = E (T) B (T) / μ_{0} = \frac{R ICH (T)^{2}}{2 π R D} .

$|P(t)| = E(t) B(t)/\mu_0 = \frac{R I(t)^2}{2\pi r d}.$

Ich denke, Sie haben den Verschiebungsstrom des Kondensators vernachlässigt. Siehe meine Antwort.

Poynting-Vektor eines Drahtes zwischen Kondensatoren

Benutzer15941

Antworten (2)

Kunst Braun

psitae

Kunst Braun

Fabian

Kunst Braun