Dies ist alles andere als ein einfaches Problem. In ständig$g$ermitteln wir die Gesamtflugzeit aus$v_{0,y}$(der den Startwinkel enthält ) und$g$, dann fügen Sie es ein$v_x(t)$.

Mal sehen, ob wir das hier machen können.

$$F=\frac{GMm}{y^2},$$

Wo$y$ist die Entfernung zum Mittelpunkt der Erde. Die Bewegungsgleichung wird zu:

$$ma_y=-\frac{GMm}{y^2}$$ $$\frac{dv_y}{dt}=-\frac{GM}{y^2}$$ Kettenregel auf LHS anwenden: $$\frac{dv_y}{dy}\frac{dy}{dt}=-\frac{GM}{y^2}$$

$$v_ydv_y=-\frac{GM}{y^2}dy$$ Integrieren gibt uns die maximale Höhe $y_{max}$erreichbar: $$\int_{v_{0,y}}^0v_ydv_y=-\int_{R}^{y_{max}}\frac{GM}{y^2}dy$$ $$-\frac12 v_{0,y}^2=-GM\Big[-\frac1y\Big]_{R}^{y_{max}}$$ $$-\frac12 v_{0,y}^2=GM\Big[\frac{1}{y_{max}}-\frac1R\Big]$$ $$y_{max}=\frac{2GMR}{2GM-Rv_{0,y}^2}$$ Wo $R$ist der Radius der Erde. Oder für eine beliebige Höhe $y$: $$\frac12 v_{y}^2-\frac12 v_{0,y}^2=GM\Big[\frac{1}{y}-\frac1R\Big]$$ $$\frac12 v_{y}^2=\frac12 v_{0,y}^2+GM\Big[\frac{1}{y}-\frac1R\Big]$$ $$v_y=\sqrt{v_{0,y}^2+2GM\Big[\frac{1}{y}-\frac1R\Big]}$$

$$\frac{dy}{dt}=\sqrt{v_{0,y}^2+2GM\Big[\frac{1}{y}-\frac1R\Big]}$$ $$\sqrt{\frac{(v_{0,y}^2R-2GM)y-2GM}{Ry}}dy=dt$$

Obwohl dies integriert werden kann und eine analytische Lösung hat, kann seine Lösung in nicht explizit gemacht werden$t$. Eine vertikale Flugzeit kann hier also nicht ohne weiteres ermittelt werden.

Vorausgesetzt, die Startgeschwindigkeit$v$kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit ist, ist die Flugbahn Teil einer Ellipse (in rot im Diagramm unten) mit dem Erdmittelpunkt in einem Brennpunkt (F). Die Form (Exzentrizität$e$) und Orientierung$\theta$der Ellipse werden durch die Startgeschwindigkeit bestimmt$v$und Winkel$\alpha$(hier relativ zur Vertikalen gemessen). Die Start- und Landepunkte (A, B) sind Schnittpunkte der Ellipse mit dem Erdkreis. Die Reichweite (Entfernung entlang der Erdoberfläche zwischen A und B) ist$2R\theta$.

Die Gleichung der Ellipse ist
$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$.

Die große Halbachse$a$der Ellipse kann aus der Vis-Viva- Gleichung gefunden werden
$v^2=GM(\frac{2}{R}-\frac{1}{a})$
$\frac{1}{\rho}=2-\frac{Rv^2}{GM}$
Wo$R$ist der Radius der Erde und$\rho=\frac{a}{R}$.

Die radialen und tangentialen Geschwindigkeitskomponenten sind$v_r=v\cos\alpha, v_{\theta}=v\sin\alpha$. Ersatz$a,v_r,v_{\theta}$in die Gleichungen Nr. 12, Nr. 17 und Nr. 20 im Link unten, um 2 simultane Gleichungen zu erhalten, die die Exzentrizität betreffen$e$der Umlaufbahn und des Positionswinkels$\theta$des Startplatzes:
$v_r^2=\frac{GM}{a}\frac{e^2\sin^2\theta}{1-e^2}$
$v_{\theta}^2=\frac{GM}{a}\frac{(1-e\cos\theta)^2}{1-e^2}$.
die werden
$(2\rho-1)\cos^2\alpha=\frac{e^2}{1-e^2}\sin^2\theta$
$(2\rho-1)\sin^2\alpha=\frac{1}{1-e^2}(1-e\cos\theta)^2$.

Lösen Sie diese 2 Gleichungen (vielleicht durch Versuch und Verbesserung oder eine andere numerische Methode), um den Winkel zu finden$\theta$.

Referenz: Physikseiten: Geschwindigkeit in einer elliptischen Umlaufbahn

Wenn die Geschwindigkeit hoch genug ist, damit das Projektil der Schwerkraft der Erde entkommt, kann die Entfernung als unendlich angenommen werden.

Betrachten wir den Fall, in dem die Geschwindigkeit des Projektils nicht hoch genug ist, um der Schwerkraft der Erde zu entkommen. Dann ist die Flugbahn des Geschosses eine Ellipse mit der Erde in einem der beiden Brennpunkte.

Wenn die Perigäumsentfernung des Projektils größer oder gleich dem Erdradius ist, wird das Projektil die Erde für immer umkreisen.

Wenn die Perigäumsentfernung des Projektils kleiner als der Erdradius ist, schneidet seine Flugbahn den Umfang (Oberfläche) der Erde an zwei Punkten. Der gesuchte Winkel ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Kurven.

Ein bisschen spät, aber ich werde meine (geometrische) Antwort darauf teilen.

Allgemeiner Fall

Eine Kepler-Umlaufbahn wird durch eine Ellipse mit der COM des Planeten in einem der Brennpunkte beschrieben. Ich habe hier eine Zeichnung der Lösung gemacht: Das Schöne an diesem Szenario ist, dass wir die Orbitalenergie einfach minimieren können (da wir ohne Geschwindigkeit starten, ist dies die optimale Umlaufbahn in Bezug auf die erforderliche Startgeschwindigkeit$v_0$). Die Orbitalenergie pro Masseneinheit ist

$$\epsilon=-\frac{GM}{2a} \overset{t=0}{=} -\frac{GM}{R} + \frac{1}{2}{v_0^2}.$$ Daher ist die beste Umlaufbahn die einer Ellipse, die die Länge der großen Halbachse minimiert$a$. Es sollte durch den Startpunkt gehen$L$zum Ziel$D$, die einen Fokus auf die COM des Planeten hat$C$.

Bezeichnen Sie die Brennpunkte der Ellipse$C$(Zentrum des Planeten) und$F$. Für die Ellipse wissen wir das$CL+LF = 2a$($CL$ist der Abstand zwischen$C$Und$L$, und ebenso für$LF$usw.) und$CD+DF=2a$. Der zweite Fokuspunkt muss also genügen

$$LF-DF=CD-CL$$ Eine Hyperbel, mit Brennpunkten$L$Und$D$, auch in der Abbildung dargestellt. Die Länge der großen Halbachse der Ellipse ist$a=\frac{1}{2}(CD+DF)$, um dies zu minimieren, müssen wir also die Entfernung minimieren$DF$auf dieser Hyperbel (CD wird durch das Problem behoben), so$F$muss deutlich auf der Linie liegen$LD$, wie in der Abbildung gezeigt.

Eine Ellipse hat die Eigenschaft, dass alle Strahlen (z. B. Lichtstrahlen), die von einem Brennpunkt kommen, zum anderen Brennpunkt reflektiert werden. Mit anderen Worten, die Winkelhalbierende steht senkrecht auf der Ellipse. Damit erhalten wir einen Ausdruck des Winkels:$\frac{1}{2}\gamma+\beta+\alpha=90^\circ$. Daneben haben wir das$\gamma+\beta=90^\circ$. Kombinieren wir diese, finden wir den optimalen Startwinkel:

$$\alpha = \frac{1}{2}\gamma$$

Auch die benötigte Geschwindigkeit lässt sich leicht berechnen, da die Länge der großen Halbachse gerade ist$4a = (CL+LF)+(CD+DF) = CL+LD+CD$, und daher ist die Geschwindigkeit

$$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}\sqrt{2-\frac{4R}{CL+LD+CD}}$$

Ziel und Start beide am Boden

In dem Fall, dass$D$ist auch am Boden ($CL=CD=R$), werden die Formeln schön genug, um weiter ausgearbeitet zu werden. Angenommen, die Großkreisentfernung zwischen dem Start$L$und Ziel$D$Ist$\Theta$, dann wird der optimale Startwinkel sein

$$\alpha=45^\circ-\frac{\Theta}{4}$$ Die Geschwindigkeit wird $$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}\sqrt{2-\frac{4}{2+2\sin{\Theta/2}}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}\sqrt{2}\sqrt{\frac{\sin{\Theta/2}}{1+\sin{\Theta/2}}}$$ Ein schönes Ergebnis: as$\Theta\to 0$, wird der optimale Startwinkel sein$\alpha = 45^\circ$, Und$v_0^2 = \frac{GM}{R} \Theta$, und mit Abstand$D =\Theta R$, das reduziert sich auf das Bekannte$v_0^2 = g D$(für konstante Schwerkraft).

Für$\Theta\to180^\circ$(am anderen Ende des Planeten), wird der optimale Winkel sein$\alpha\to0^\circ$, mit Geschwindigkeit$v_0=\sqrt{\frac{GM}{R}}$(gerade genug, um genau auf Bodenhöhe zu bleiben)