Ich bin ein Student der Mathematik mit nicht viel Hintergrund in Physik. Ich bin daran interessiert, die Quantenfeldtheorie aus mathematischer Sicht zu lernen.
Gibt es gute Bücher oder andere Referenzmaterialien, die beim Erlernen der Quantenfeldtheorie helfen können? Mit welchen Bereichen der Mathematik sollte ich vertraut sein, bevor ich etwas über Quantenfeldtheorie lese?
Lassen Sie mich nur ein paar Dinge zu dem hinzufügen, was bereits erwähnt wurde. Ich denke, dass die beste Quelle für QFT für Mathematiker die beiden IAS-Bände sind. Aber da diese ziemlich lang sind und einige Teile für Mathematiker nicht einfach sind (ich habe ein wenig daran teilgenommen, sie aufzuschreiben, und ich weiß, dass sie größtenteils von Leuten geschrieben wurden, die damals nicht gut verstanden haben, worüber sie schrieben), Wenn Sie also das Thema wirklich auf mathematische Weise verstehen möchten, würde ich die folgende Reihenfolge vorschlagen:
1) Stellen Sie sicher, dass Sie die Quantenmechanik gut verstehen (es gibt viele mathematische Einführungen in die Quantenmechanik; besonders gut gefällt mir das Buch von Faddeev und Yakubovsky http://www.amazon.com/Lectures-Mechanics-Mathematics-Students-Mathematical /dp/082184699X )
2) Etwas verstehen, worum es bei der Quantenfeldtheorie (mathematisch) geht. Die Quelle, die mir hier gefällt, sind die Wightman-Axiome (als etwas, das Sie sich in QFT wünschen könnten, das aber fast nie gilt), wie es im 2. Band des Buches von Reed und Simon über die Funktionsanalyse vorgestellt wird; Für eine etwas gründlichere Diskussion schauen Sie sich Kazhdans Vorträge in den IAS-Bänden an.
3) Verstehen, wie die zweidimensionale winkeltreue Feldtheorie funktioniert. Wenn Sie eine elementarere und analytischere (und "physischere") Einführung wünschen, schauen Sie sich Gawedzkis Vorlesungen in den IAS-Bänden an. Wenn Sie etwas Algebraischeres wollen, sehen Sie sich Gaitsgorys Notizen an derselben Stelle an.
4) Studieren Sie perturbative QFT (Feynmann-Diagramme): Dies ist in IAS-Bänden gut abgedeckt (für einen Mathematiker; ein Physiker würde viel mehr Übung benötigen als das, was dort getan wird), aber vor Ort weiß ich nicht genau, wo ( sollte aber leicht zu finden sein).
5) Versuchen Sie zu verstehen, wie supersymmetrische Quantenfeldtheorien funktionieren. Dieses Fach ist das schwierigste für Mathematiker, aber es ist auch die Quelle der meisten Anwendungen in der Mathematik. Dies wird in Wittens Vorlesungen im 2. IAS-Band diskutiert (es gibt ungefähr 20 davon, glaube ich) und das ist wirklich nicht einfach - zum Beispiel erfordert es gute praktische Kenntnisse einiger Aspekte der Super-Differentialgeometrie (auch dort diskutiert), Das ist ein rein mathematisches Fach, aber es gibt nur sehr wenige Mathematiker, die es kennen.
Es gibt nicht viele Mathematiker, die das alles durchgemacht haben, aber wenn Sie sich wirklich mit Physikern unterhalten wollen, halte ich so etwas wie das obige Schema für notwendig (übrigens: Ich habe die Stringtheorie nicht in meine Liste aufgenommen - dies ist ein zusätzliches Thema; es gibt eine gute Einführung in D'Hokers Vorlesungen in den IAS-Bänden).
Bearbeiten: Wenn Sie außerdem eine rein mathematische Einführung in die Topologische Feldtheorie wünschen, können Sie Segals Notizen lesen http://web.archive.org/web/20000901075112/http://www.cgtp.duke.edu/ITP99 /segel/ ; Dies ist eine sehr zugängliche (und angenehme) Lektüre! Ein moderner (und technisch viel schwierigerer) mathematischer Ansatz zum selben Thema wird von Jacob Lurie entwickelt http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf (es gibt keine physikalische Motivation in diesem Artikel, aber mathematisch ist dies wahrscheinlich die richtige Art, über topologische Feldtheorien nachzudenken).
Wenn Sie Mathematiker sind und QFT verstehen wollen, müssen Sie sich früher oder später mit der Renormierung auseinandersetzen. Ihr Leben wird leichter, wenn Sie von Anfang an verstehen, dass die Philosophie der Wilson-Weinberg-usw. „effektiven Feldtheorie“ das grundlegende Organisationsprinzip für das gesamte Fachgebiet ist. Insbesondere müssen Sie es kennen, um die Intuition hinter den bestehenden strengen Konstruktionen von QFTs verstehen zu können. Leider sind die Erklärungen zur Renormierung in den teilchenphysikorientierten Lehrbüchern, die Mathematiker oft zuerst zu Rate ziehen, nicht so toll.
Vielleicht kann ich ein wenig Motivation liefern, bevor ich die Liste der empfohlenen Lektüre ergänze.
In einem System mit unendlich vielen Freiheitsgraden (wie Feldtheorie auf einer Raumzeit der Dimension mindestens 2) müssen Sie die Freiheitsgrade irgendwie organisieren, bevor Sie überhaupt anfangen können, darüber zu sprechen, wie sie interagieren. In der QFT organisieren wir die Freiheitsgrade häufig, indem wir fragen, wie groß sie im Vergleich zu einer festen Entfernungsskala sind. (Die Fourier-Zerlegung des elektromagnetischen Felds ist ein Beispiel dafür. Wir stellen uns das elektromagnetische Feld als eine Summe von Sin/Cosinus-Wellen verschiedener Wellenlängen vor.) Wenn wir also über eine Feldtheorie sprechen, meinen wir eigentlich a Folge von Approximationen, die mit einem Satz von Freiheitsgraden beginnt, deren charakteristische Skala mit der Referenzskala vergleichbar ist, und dann systematisch neue hinzufügt, deren charakteristische Skalen weiter von unserer Referenzskala entfernt sind.
Die Grundidee der Philosophie der effektiven Feldtheorie ist, dass wir, anstatt die Freiheitsgrade, die wir in der Nähe der Referenzskala verwenden, als diejenigen zu betrachten, die übrig bleiben, wenn wir alle anderen wegwerfen, diese Freiheitsgrade als solche betrachten sollten eine ungefähre „effektive“ Beschreibung des Systems erhalten wir durch Mittelwertbildungdiese anderen Freiheitsgrade. Wenn Sie diesen Standpunkt einnehmen, werden Sie häufig feststellen, dass die Freiheitsgrade auf der Referenzskala denen ähneln, die wir erhalten hätten, wenn wir die Freiheitsgrade für kürzere Entfernungen blind ignoriert hätten, und ihre Wechselwirkungen haben dieselbe Grundform, außer dass die Kopplungskonstanten alle unterschiedlich sind. Das Renormierungsverfahren, das überall in QFT auftaucht, beschäftigt sich damit, zu berechnen, wie Wechselwirkungen zwischen den Freiheitsgraden auf der Referenzskala in Bezug auf die Wechselwirkungen zwischen den Freiheitsgraden bestimmt werden, die einer kürzeren Entfernung entsprechen, insbesondere herauszufinden, welche Wechselwirkungen stärker werden und welche schwächer.
Diese Philosophie hat ihren Ursprung in der statistischen Mechanik, dem oft vernachlässigten dritten Bein des QFT-Stuhls. (Das Pfadintegral der QFT ist eng verwandt mit den Berechnungen der Partitionsfunktion, die in der statistischen Mechanik von Feldsystemen auftauchen.) Wenn Sie die QFT verstehen wollen, müssen Sie QM, Relativitätstheorie und Statistik studieren. Der Stat-Mech ist nicht wirklich optional.
Ein paar Referenzen:
Tim Hollowoods „Cutoffs & Continuum Limits: A Wilsonian Approach to Field Theory“ ist eine ausgezeichnete Einführung.
Kerson Huangs Statistical Mechanics hat eine schöne Behandlung des Ising-Modells, das so ziemlich das Urbeispiel des Themas ist.
Zinn-Justins QFT & Critical Phenomena arbeitet diese Ideen in einer großen Menge an Details durch.
David Brydges „Lectures on the Renormalization Group“ im IAS/Park City-Band Statistical Mechanics ist ziemlich großartig.
Battles "Wavelets & Renormalization" behandelt das euklidische Pfadintegral für die 3D-Skalarfeldtheorie gründlich und mathematisch rigoros, ganz im Sinne der Renormalisierungsphilosophie.
Glimm & Jaffes „Quantum Physics: A Functional Integral Point of View“ erklärt viele der mathematischen Maschinen wie Kernräume und Zylindermaße, die verwendet werden können, um die Idee der effektiven Feldtheorie mathematisch präzise zu machen, und verwendet diese Maschinerie, um ein 2D-Skalarfeld zu konstruieren Theorien und beweise einige nicht-triviale Fakten über sie.
Diese Frage hat zwei Aspekte:
1) Welche Quellen versuchen, die übliche vage und spekulative Physikgeschichte auf eine Weise zu vermitteln, die Mathematiker eher zu schätzen wissen?
2) Welche Quellen versuchen, eine tatsächliche mathematische Behandlung von QFT zu geben, etwas, das der Mathematik gerecht wird?
Zum einen ist Deligne et al.s Quantum Fields and Strings wahrscheinlich die beste Antwort, die es bisher gibt.
Aber auch zur zweiten Frage gibt es einiges zu sagen. Hier hat sich in den letzten Jahren viel getan. Diesen Dezember (2011) erscheint ein AMS-Band, der Umfragen und Originalartikel zu diesem Thema sammelt:
Sati, Schreiber (Hrsg.) Mathematical Foundations of Quantum Field Theory and Perturbative String Theory AMS (2011) Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Volume: 83 .
Die Einführung mit weiteren Links befindet sich unter arXiv:1109.0955
[Bearbeiten: Angesichts der folgenden Diskussion sollte ich sagen, dass ich "vage und spekulativ" überhaupt nicht abwertend meine. Es ist nur eine Tatsache, dass vom Standpunkt der Mathematik aus ein Großteil der Physik, sicherlich ein Großteil der Quantenfeldtheorie und der Stringtheorie, so gut etabliert und robust sie auch sein mögen, vage und spekulativ ist. Um ein Gefühl für die Wahrheit zu bekommen, kann es hilfreich sein, zu einem reinen Mathematiker zu gehen, der daran interessiert ist, etwas über das Thema zu lernen, aber keinen Hintergrund darin hat, und zu versuchen, es ihm oder ihr beizubringen. Man lernt daraus, dass viele Texte von Physikern, die den Anspruch erheben, "für Mathematiker" zu sein, es in Wirklichkeit nicht sind. Es gibt eine ziemliche Distanz zwischen einem mathematisch bewussten theoretischen Physiker und einem reinen Mathematiker ohne Hintergrund in der üblichen Physiklehre. Viele Physiker sind sich dieser Entfernung nicht bewusst.]
Moshe hat bereits viele Punkte angesprochen. Vielleicht interessiert Sie Follands Quantenfeldtheorie: ein Reiseführer für Mathematiker . Er versucht, möglichst viele Dinge auf mathematisch strenge Weise zu tun, und weist auf die Punkte hin, wo dies nicht möglich ist.
Was den mathematischen Hintergrund betrifft: Etwas Vertrautheit mit partiellen Differentialgleichungen und der Theorie der Verteilungen ist von Vorteil.
Dies betrifft die "konventionelle" Quantenfeldtheorie. Vielleicht interessiert Sie auch die topologische Quantenfeldtheorie, die viel mehr mathematischer Natur ist.
QFT ist ein riesiges Thema, das einem Großteil der modernen theoretischen Physik zugrunde liegt. Ich denke, im Großen und Ganzen hat sich die Mathematik-Community für spezielle einfache Fälle interessiert (z. B. topologische oder rationale QFT), daher ist der Standardvorbehalt bezüglich des sprichwörtlichen Elefanten hier sehr relevant.
Ein guter Überblick ist der einjährige Kurs, der im IAS für Mathematiker angeboten wird und der viele Bereiche abdeckt. Es gibt ein zweibändiges Buch, das nicht nur für Mathematiker nützlich ist, und eine Website: http://www.math.ias.edu/qft . So erhalten Sie einen Überblick über die zentralen Themen und (je nach Interesse) über die notwendigen Hintergründe.
Es gibt viele Versuche, die allgemeine QFT zu formalisieren. Da in der modernen (nach Wlison) Behandlung des Themas die definierenden Eigenschaften der QFT alle mit dem Prozess der Renormierung zu tun haben, habe ich hier eine entsprechende Frage gestellt Formalisierung der Quantenfeldtheorie , die Antworten können Ihnen einen Vorgeschmack geben von dem, was da draußen an dieser Front ist.
Neben diesen tollen Antworten möchte ich die Bücher empfehlen,
Das erste Buch entwickelt einige der für CFTs notwendigen Analysen (Kapitel 8) sowie die Theorie konformer Kompaktifizierungen (Kapitel 1, 2) und die Theorie der Witt- und Virosoro-Algebren (Kapitel 4-6). Das Buch endet mit einer Diskussion der Fusionsregeln und wie man eine CFT formal konstruiert (ausgehend von etwas Analogem zu den Wightman-Axiomen). Ich glaube, dass Schottenloher ein Analytiker ist, daher können Sie durch dieses Buch ein analytischeres Gefühl bekommen [sprich: etwas Funktionsanalyse und grundlegende Repräsentationstheorie kennen].
Das zweite Buch ist aus der Perspektive eines Funktionsanalytikers mit ausgeprägtem Hintergrund in der Repräsentationstheorie geschrieben. Die ersten beiden Kapitel geben eine anständige mathematische Einführung in die QFT sowie einige der eher darstellungstheoretischen Ergebnisse, die man vielleicht interessant finden könnte. Der Autor stellt auch einige der algebraischen Geometrien vor, die man in einer formalen Analyse von QFT finden könnte (was natürlich in seiner vollen Pracht in Quantum Fields and Strings erläutert wird .
Das dritte Buch stammt aus einer Sommerschule für Mathematik- und Physikstudenten. Als solches führt es in eine Vielzahl von Themen ein und bietet eine etwas formale Einführung in QFT.
Schließlich sind die Vorlesungsunterlagen von Leonard Grosss Vorlesung über Quantenfeldtheorie eine gute formale Einführung für Mathematiker mit einem a) Analysehintergrund und b) keiner Physik, die größer ist als die klassische Mechanik. Es ist ein leicht lesbares Notizbuch mit guten historischen Bezügen. Während ich sowohl Physik als auch Mathematik studierte, fand ich diese Notizen als meine Lieblingsreferenz für QFT (vielleicht, weil ich Analysis und Differentialgeometrie Algebra und algebraischer Geometrie vorziehe).
Wenn Sie nach etwas Einfacherem und Pädagogischem suchen, dann sollten Sie sich das wunderbare Buch von Baez und Muniain mit dem Titel Gauge Fields, Knots and Gravity ansehen . Dieses Buch entwickelt den mathematischen Formalismus der Eichtheorie auf freundliche und unterhaltsame Weise und erfordert sehr wenig Hintergrundwissen zum Lesen. Wenn Sie mehr über die physikalischen Aspekte der Quantenfeldtheorie erfahren möchten, sollten Sie woanders suchen, aber dieses Buch gibt eine vollständig eigenständige mathematische Einführung in die Chern-Simons-Theorie, eine Quantenfeldtheorie mit wichtigen Anwendungen in der reinen Mathematik.
Ein weiteres sehr freundliches Buch über Quantenfeldtheorie für Mathematiker ist Frobenius Algebras and 2D Topological Quantum Field Theories von J. Kock. Dies ist ein großartiger Ausgangspunkt, wenn Sie die jüngsten Arbeiten von Jacob Lurie über die Klassifizierung topologischer Quantenfeldtheorien studieren möchten. Das einzige Problem mit diesem Buch ist, dass es nicht viel darüber aussagt, wie Quantenfeldtheorien verwendet werden, um Invarianten topologischer Räume zu berechnen. Ich denke daher, dass es am besten ist, dieses Buch mit etwas anderem zu ergänzen – vielleicht mit dem klassischen Artikel von Atiyah.
Dies sollte ein Kommentar sein, keine Antwort, aber ich habe nicht genug Ansehen. Im Grunde habe ich einen Master in Mathematik (reine Mathematik) gemacht, dann einen Master in Physik (QFT), dann einen PhD in Mathematik (reine, algebraische Geometrie). Also musste ich mich mit dem Problem auseinandersetzen, das Sie zu lösen versuchen. Ich denke, es wird schwierig sein, eine gute Antwort zu bekommen, da Sie nicht angeben, aus welchem Grund Sie QFT lernen möchten. Einige Kommentare dann:
Wenn Sie aus mathematischer Sicht an Dingen wie Seiberg-Witten-Gleichungen arbeiten, ist das Buch von Baez und Muniain mit dem Titel Gauge Fields, Knots and Gravity (oben von Bob Jones erwähnt) meiner Meinung nach großartig, da Sie nicht quantisieren müssen Sachen sowieso.
Wenn Sie tatsächlich ein Verständnis für das Fach erlangen möchten, das die physikalische Perspektive beinhaltet (was ich versucht habe), dann schlage ich vor, etwas physikalischen Hintergrund zu entwickeln. Daher schlage ich vor, das Buch von Sakurai über Quantenmechanik (das von meinem damaligen rein mathematischen Hintergrund aus ein gutes Buch war) zusammen mit Büchern zu lesen, die für Laien bestimmt sind: Feynmans QED und Weinbergs Die Entdeckung von Subatomare Teilchen . Ich habe diese Bücher zusammen mit Peskin und Schroeders An Introduction to Quantum Field Theory verwendet .
Eigentlich habe ich versucht, gleichzeitig einen "mathematisch präziseren" Ansatz für QFT zu verfolgen - aber am Ende fand ich, dass dies schwieriger war als der physikalische Ansatz - weil Sie am Ende, denke ich, enorm viel Zeit aufwenden müssen, um es zu bekommen überall und riskieren die Veränderung, in einem Haufen mathematischer Formalismen begraben zu werden, bevor Sie einfache Berechnungen durchführen können.
Ein letzter Kommentar. Meiner Erfahrung nach war es großartig, mit Physikern zu sprechen (sie sind in der Regel gesprächiger und erzählen mehr Geschichten über ihr Fach als Mathematiker). Ich glaube also, dass es sehr profitabel ist, während des QFT-Studiums mit einer Gruppe von Physikstudenten/Professoren abzuhängen.
Als Amateur-Mathematiker fand ich die Quantenfeldtheorie von Franz Mandl & Graham Shaw eine schnelle und prägnante Einführung. Allerdings muss man vorher etwas Quantenmechanik behandelt haben. Das Buch wurde mir ursprünglich empfohlen.
Diese Antwort enthält einige zusätzliche Ressourcen, die nützlich sein können. Bitte beachten Sie, dass von Antworten, die lediglich Ressourcen auflisten, aber keine Details enthalten, aufgrund der Richtlinien der Website zu Fragen zu Ressourcenempfehlungen dringend abgeraten wird . Diese Antwort wird hier hinterlassen, um zusätzliche Links zu enthalten, die noch keinen Kommentar haben.
Für Supersymmetrie (die, wie Alexander Braverman richtig sagte, für mathematische Anwendungen am wichtigsten ist) das Buch von Dan Freed ["Five Lectures on Supersymmetry".][3]
Quantenfeldtheorie (Mathematische Übersichten und Monographien) von Folland
Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie: Eine mathematische Einführung
Mathematische Aspekte der Quantenfeldtheorie (Cambridge Studies in Advanced Mathematics
Links zum Physik-Stack-Austausch:
Eine gute Einführung ist „Quantum Field Theory for Mathematicians“ von Ticciati. Es ist großartig in dem Sinne, dass es ziemlich rigoros und in sich geschlossen ist und dennoch ziemlich breit in seiner Präsentation.
Eine etwas engagiertere und längere Präsentation mit spezifischen Themen ist "Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians". Dies ist ein 2-bändiges Set, das mit Vorträgen von Fachleuten gefüllt ist. Allerdings recht technisch.
Jonathan Gleason
Igor Khavkine