Was sind die besten Lehrbücher für den mathematischen Hintergrund, den Sie für die moderne Physik benötigen, wie z. B. die Stringtheorie?
Einige Themen aus dem Kopf, die wahrscheinlich behandelt werden müssen:
Das letzte Buch, das ich zum Thema „Hintergrund in Mathematik für Physiker“ gelesen habe, war „Mathematics for Physics“ von Stone und Goldbart, und es hat mir ziemlich gut gefallen. (Seitdem tendiere ich eher zu den reinen Mathebüchern, aber das ist eine andere Geschichte).
Noch besser, eine Version des Buches ist online auf der Webseite von Paul Goldbart verfügbar. *Wenn die obige URL nicht funktioniert; versuchen Sie es hier: http://goldbart.gatech.edu/PG_MS_MfP.htm *
Hier ist eine Themenliste:
* Calculus of Variations
* Function Spaces
* Linear Ordinary Differential Equations
* Linear Differential Operators
* Green Functions
* Partial Differential Equations
* The Mathematics of Real Waves
* Special Functions
* Integral Equations
* Vectors and Tensors
* Differential Calculus on Manifolds
* Integration on Manifolds
* An Introduction to Differential Topology
* Groups and Group Representations
* Lie Groups
* The Geometry of Fibre Bundles
* Complex Analysis I
* Complex Analysis II
* Special Functions and Complex Variables
o Appendix A: Linear Algebra Review
o Appendix B: Fourier Series and Integrals
Sean Carrolls Lecture Notes on General Relativity enthalten eine hervorragende Einführung in die Mathematik der GR (Differentialgeometrie auf Riemann-Mannigfaltigkeiten). Diese auch in modifizierter Form in seinem Buch Spacetime and Geometry veröffentlicht.
Spivaks Calculus on Manifolds ist ein Juwel.
Bishop's Tensor Analysis on Manifolds ist eine großartige Einführung in das Thema und wird von Dover veröffentlicht, ist sehr billig (weniger als 10 $ bei Amazon).
Georgis Lie Algebras In Particle Physics ist unterhaltsam und schnelllebig, springt aber wahrscheinlich zu viel herum, um als adäquate erste Exposition verwendet zu werden.
Shutz' geometrische Methoden der mathematischen Physik und ein erster Kurs in der Allgemeinen Relativitätstheorie .
Trotz seines unglaublich pompösen Titels bietet Penroses The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe einen unterhaltsamen Einblick in die Weite der mathematischen Physik auf hohem Niveau.
Wie von Cedric erwähnt, bin ich ein großer Fan von Sussman und Wisdoms Structure and Interpretation of Classical Mechanics und dem dazugehörigen Memo zur funktionalen Differentialgeometrie. Die Zitate in diesen Veröffentlichungen weisen auch auf eine Menge gutes Material hin, und es gibt noch mehr Goodies, wenn Sie im Quellcode herumwühlen.
Für eine allgemeine Annäherung an die Mathematik, die sowohl in der klassischen als auch in der Quantenphysik involviert ist, ist eines meiner Lieblingsbücher:
- "Mathematik der klassischen und Quantenphysik", Byron & Fuller.
Auf der eher geometrischen Seite können Sie neben den bereits erwähnten Büchern Folgendes versuchen:
- "Die Geometrie der Physik. Eine Einführung", Theodore Frankel.
Und als allgemeine Referenz ist der übliche Text Arfkens "Mathematische Methoden für Physiker".
Aber meiner Meinung nach, wenn Sie die mathematischen Werkzeuge der Physik gründlich verstehen wollen, sollten Sie "Methods of Theoretical Physics" von Morse & Feshbach verwenden. Es ist ein altes Buch, aber unerlässlich, wenn Sie Jacksons klassische Elektrodynamik oder Messias Quantenmechanik verstehen wollen.
Ich fand Mathematische Methoden in den Physikalischen Wissenschaften von Mary Boas ein sehr gutes umfassendes Buch, das die Grundlagen abdeckt. Sie werden natürlich andere Bücher brauchen, aber wenn Sie nach einem Buch für eine solide Wiederholung der Grundlagen suchen, ist dieses Buch ausgezeichnet.
Hier die Kapitelüberschriften:
Ich halte auch Roger Penroses The Road to Reality für ein gutes Buch mit einem breiten mathematischen Spektrum und einer eher theoretischen Neigung.
Gute Frage. Ich weiß nicht viel über Differentialgeometrie oder algebraische Topologie, aber nachdem ich mich ein wenig mit Gruppen befasst habe, denke ich, dass ich einige Referenzen für Lie-Gruppen liefern kann. Hier sind also die Bücher, die ich nützlich fand
Samelson, Notes on Lie Algebras geschrieben in einem Definitions-, Theorem-, Beweisstil, daher ist es etwas schwer zu verstehen (ich empfehle mehrfaches Nachlesen), gibt aber einen guten Überblick über die Struktur, Klassifizierung (Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme) und Darstellungen (höchstes Gewicht Theorie) der Lie-Algebren.
Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , ist weniger theoremlastig und gesprächiger als Samelson und enthält eine Vielzahl großartiger Übungen.
Fulton, Harris, Representation Theory A First Course behandelt mehr oder weniger alles, was ein Physiker über Gruppen wissen muss (erwähnt auch einige endliche Gruppen). Es fehlt der systematische, auf Theoremen basierende Ansatz der beiden obigen Bücher, aber es bietet großartige Erklärungen und schöne Bilder. Ich würde es als nette erste Lektüre über Gruppen vorschlagen, wenn es nicht so lang wäre.
Goodman, Wallach, Representations and Invariants of the Classical Groups dies ist eine ultimative Bibel über Gruppen. Die Autoren verfolgen einen algebraisch-geometrischen Ansatz für die Lie-Gruppen (anstelle der üblichen differentiellen Geometrie), was das Buch für einen normalen Physiker etwas schwer lesbar macht. Aber abgesehen davon bietet das Buch einen tiefen Einblick in viele konkrete Darstellungen (z. B. Tensordarstellungen und Verbindung mit symmetrischen Gruppen; dies wird an anderer Stelle oft weggelassen), diskutiert die Höchstgewichtstheorie ausführlich, bietet eine schöne Einführung in Spinoren und erwähnt auch Verzweigungsregeln. Und viele andere Sachen. Auf jeden Fall empfehlenswert.
Ein ziemlich mathematisches, aber klassisches Buch über Riemannain-Mannigfaltigkeiten ist: Semi-Riemannian Geometry von O'Neill .
Einige zugängliche Notizen zur Lie Algebra sind hier verfügbar, sie sind so konzipiert, dass sie wenig Hintergrundwissen erfordern: Lecture Notes on Lie Algebra .
Mein persönliches Lieblingsbuch über algebraische/differentielle Topologie ist: Calculus to Cohomology . Dieses Buch ist äußerst zugänglich und erfordert nur multivariable Kalküle und lineare Algebra, um es vollständig zu verstehen. Ich kann es nicht genug empfehlen, besonders für Physik.
Auch ich dritte Road to Reality. Es ist ein sehr lustiges/interessantes Buch!
Was für ein faszinierend ungewöhnliches Buch! Differentialgeometrie erklärt als Computeralgorithmen.
Das beste Mathebuch, das ich je in Bezug auf die Nützlichkeit für die Physik gelesen habe, ist
Es ist ein absolutes Juwel. Es führt Sie von Anfang an durch lineare Algebra und Differentialformen, vorausgesetzt, Sie kennen sich nur mit Algebra und Analysis aus. Die Beweise sind legitim und in einigen Fällen wirklich kreativ. Das Beste daran ist, dass es sich an Leute richtet, die Mathematik für Anwendungen verwenden möchten. Die Extremisierung von Funktionen auf Mannigfaltigkeiten ist wirklich gut entwickelt und die Autoren geben aufschlussreiche Informationen darüber, wie man sich den im Buch vorgestellten analytischen Themen numerisch nähern kann. Wirklich nützliche Dinge wie das Finden von Taylor-Reihen für implizite Funktionen werden gut gemacht. Ich kann dieses Buch wirklich nicht genug loben.
Nachdem ich das gelesen hatte, las ich
Dieses Buch führt die Integration von Differentialformen formal durch. Trotzdem ist es erstaunlich gut lesbar und ich habe im ganzen Buch keinen einzigen Fehler gefunden. Das war eine großartige Lektüre und verstärkte mein Verständnis, war aber nicht direkt relevant für die Physik.
Später habe ich dann gelesen
Dies ist eine hervorragende Einführung in gekrümmte Verteiler. Es ist schön, weil er den Unterschied zwischen Vektoren und Co-Vektoren ("Up"- und "Down"-Indizes) klar erklärt und alles mit dem wirklichen Leben (dh der Physik) in Beziehung setzt.
Das Gebiet der Operatoralgebren hat eine starke Verbindung zur Quantentheorie und ist sicherlich eine notwendige Voraussetzung für das Studium vieler Literaturen in der modernen Physik. Ich liste im Folgenden einige der Bücher auf, die sich mit Operatoralgebren und Physik befassen:
S. Attal, A. Joye, CA Pillet, Herausgeber, Open Quantum Systems 1, the Hamiltonian approach. Springer, Vorlesungsskript Mathematik, Bd. 1880, (2006).
B. Blackadar, Operatoralgebren. Springer, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. 122, (2006).
O. Bratteli, DW Robinson, Operatoralgebren und statistische Quantenmechanik 1, - und -Algebren, Symmetriegruppen, Zerlegung von Zuständen. Springer, Texte und Monographien zur Physik, 2. Auflage, 2. Druck, (2002).
Connes, A., Nichtkommutative Geometrie. Academic Press, Inc. (1994).
Garcia-Bondia, JM, Varilly, JC, Figueroa, H., Elemente der nichtkommutativen Geometrie. Birkhauser Fortgeschrittene Texte, Birkhauser, (2000).
NP Landsman, Mathematische Themen zwischen klassischer und Quantenmechanik. Springer, Monographien zur Mathematik, (1998).
M. Takesaki, Theorie der Operatoralgebren I, II, II. Springer, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. 124, (2002).
N. Weaver, Mathematische Quantisierung. Studies in Advanced Mathematics, Chapman und Hall/CRC, (2001).
Zusätzlich zu den oben genannten Büchern finden Sie eine vollständigere Liste allgemeiner Referenzen auf -Algebren und Operatoralgebren sowie zur leichten Lektüre für Anfänger siehe mein Vorlesungsskript auf -Algebren hier.
Fragen Sie nach einem Einführungsbuch oder einem Buch für Fortgeschrittene für jemanden, der bereits über Hintergrundwissen zu diesen Themen verfügt?
Für eine Einführungsstufe empfehle ich die oben empfohlenen Schutz und Spivak. Penrose und Frankel sind meiner Meinung nach nur geeignet, wenn man in diesen Fächern bereits einen Einführungskurs besucht hat. Frankels Einführung in Mannigfaltigkeiten ist sehr komprimiert, und Penrose bietet wirklich eine Vogelperspektive, während viele Details übersprungen werden, die Anfänger benötigen würden, um grundlegende Intuitionen aufzubauen.
Die besten einführenden Anmerkungen, die ich für Manifolds gefunden habe, wie sie in GR verwendet werden, sind die von David Malament, die Sie hier herunterladen können .
„Modern Mathematical Physics“ von Peter Szekeres ist das beste Buch, das ich für die Grundlagen der mathematischen Physik gefunden habe. Es ist äußerst klar und vermittelt beim ersten Lesen ein tiefes Verständnis.
Eine Amazon-Vorschau gibt es hier: http://www.amazon.com/Course-Modern-Mathematical-Physics-Differential/dp/0521829607
Kapiteltitel:
Sets und Strukturen
Gruppen
Vektorräume
Lineare Operatoren und Matrizen
Innere Produkträume
Algebren
Tensoren
Äußere Algebra
Spezielle Relativität
Topologie
Maßtheorie und Integration
Verteilungen (Fourier-Transformationen, Greensche Funktionen)
Hilbert Räume
Quantenmechanik
Differentialgeometrie
Differenzierbare Formen
Integration auf Verteilern
Verbindungen und Krümmung
Lie-Gruppen und Lie-Algebra
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Das Buch von Lee, Introduction to Smooth Manifolds ist sehr gut und geht das Thema locker und motiviert an. Soweit ich mich erinnere, ist dies nicht auf natürliche Weise mit der Physik verbunden.
Gauge Fields, Knots & Gravity von Baez und Munian ist ebenfalls sehr gut lesbar und behandelt die Theorie der Bündel und Differentialformen in der Physik auf einfache, leicht verständliche Weise. Ein bewundernswertes Merkmal des Buches ist, dass die Übungen nur Übungen sind, das heißt, sie lehren, wie man den Stoff versteht.
Ein strengeres Gegenstück zu diesem Material sind die ersten hundert Seiten von Michors Natural Operations in Differential Geometry , diese Behandlung ist hochgradig mathematisch und sehr streng.
Was die algebraische Topologie betrifft, so ist wiederum das Buch von Lee ein guter Anfang, An Introduction to Topological Manifolds , und dann für die fortgeschrittenere Theorie das Buch von Bott & Tu, Differential Forms in Algebraic Topology .
Pierre Polowodow