Zahlentheorie in der Physik [geschlossen]

Ich bin mir nicht sicher, ob ich in der Lage sein werde, alle Links zu posten, die ich gerne hätte (noch nicht genug Reputationspunkte), aber ich werde versuchen, auf die wichtigsten Refs zu verweisen, die ich kenne.

Matilde Marcolli hat einen netten Aufsatz mit dem Titel „ Zahlentheorie in der Physik “, der die verschiedenen Stellen in der Physik erklärt, an denen die Zahlentheorie auftaucht.

[Nebenbei gibt es einen Aufsatz von Christopher Deninger mit dem Titel „ Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces “, der einige Fenster zu diesem Thema öffnen könnte: Schließlich bilden lokale Systeme die Grundlage eines Großteils der modernen Physik (Bündelformulierungen, etc).]

Es gibt eine Website namens „ Number Theory and Physics Archive “, die eine riesige Sammlung von Links zu Arbeiten in dieser Schnittstelle enthält.

Sir Michael Atiyah hielt gerade (letzte Woche) einen Vortrag auf der Eröffnungskonferenz des Simons Center, in dem er über das jüngste Zusammenspiel von Physik und Mathematik sprach. Und er krönte seinen Vortrag mit Spekulationen über die Verbindung zwischen Quantengravitation und der Riemann-Hypothese. Zu diesem letzten Thema sollte er am IAS einen Vortrag halten, der aber abgesagt wurde.

Lassen Sie mich zum Abschluss die Langlands-Dualität auf den Tisch bringen: Sie ist verwandt mit modularen Formen und damit der Zahlentheorie. (Kavalierversion: Stellen Sie sich das QFT-Pfadintegral als Möbius-Symmetrie in Bezug auf die Kopplungskonstanten in der Lagrange-Funktion vor.)

Nachdem dies aus dem Weg geräumt ist, denke ich, dass der bessere Blickwinkel, um die Verbindung zwischen Zahlentheorie und Physik zu sehen, darin besteht, das physikalische Problem auf andere Weise zu betrachten: Denken Sie an die kritischen Punkte im Potential und was sie im Phasenraum bedeuten (Hamiltonian und/oder geodätischer Fluss: Jacobi hat eines in das andere umgewandelt; denken Sie an Jacobi-Felder in der Differentialgeometrie), denken Sie darüber nach, wie sich dies in QFT auswirkt, denken Sie an Moduli-Räume und ihre Verbindung zum Obigen. So sehe ich diesen Rahmen... ;-)

Eine halb dumme Idee, über die ich gelesen habe, ist das Primon-Gas , ein Modell, bei dem die Riemann-Zeta-Funktion als Partitionsfunktion eines quantenstatistischen mechanischen Systems entsteht.

Werfen Sie einen ernsthafteren Blick auf die Arbeiten von Yuri Manin und Matilde Marcolli über das hep-th arxiv , die versuchen, das holografische Prinzip mit der arithmetischen Geometrie zu verbinden. Ich denke, es besteht große Hoffnung, dass die von der Quantenfeldtheorie und der Stringtheorie inspirierten Techniken in der Physik Anwendungen auf verschiedene Zweige der Mathematik einschließlich der Zahlentheorie finden könnten (für solche Dinge kann ich nichts Besseres tun, als Sie auf die Schriften zu verweisen von John Baez ) -- Mir sind Anwendungen der Zahlentheorie auf die Art von Physik, die experimentell getestet werden kann, nicht so bekannt (obwohl ich gerne korrigiert werden würde).

Ein unabhängiges Beispiel – Freeman Dyson hat vage Spekulationen über Quasikristalle und die Riemann-Hypothese angestellt, Sie können darüber zusammen mit etwas unterhaltsamer Geschichte in diesem Artikel lesen .

Unter www.msri.org/ext/Emissary/EmissarySpring02.pdf gibt es einen fantastischen Artikel über die Beziehung zwischen der Riemann-Hypothese und dem „Quantenchaos“ (beginnt auf Seite 1, geht weiter auf Seite 12).

Hier ist ein Auszug (denken Sie daran, dass die Montgomery-Vermutung eine Vermutung über die erwartete Anzahl von Nullen der Riemann-Zeta-Funktion ist, die in einem Intervall einer bestimmten Länge auf eine Null folgen):

Montgomery war überrascht zu entdecken, dass Dyson die ziemlich komplizierte Funktion, die in Montgomerys Vermutung auftaucht, sehr gut kannte und sie sogar im Zusammenhang mit dem Vergleich von Lücken zwischen Punkten mit der durchschnittlichen Lücke kannte. Allerdings – hier ist das Erstaunliche: Dyson kannte diese Funktion nicht aus der Zahlentheorie, sondern aus der Quantenmechanik. Es ist genau die Funktion, die Dyson selbst ein Jahrzehnt zuvor bei der Modellierung von Energieniveaus in komplexen dynamischen Systemen aus quantenphysikalischer Sicht gefunden hatte. Es wird heute angenommen, dass dieselben Statistiken die Energieniveaus chaotischer Systeme beschreiben; mit anderen Worten, Quantenchaos!

Der Artikel beschreibt auch einige andere überraschende Verbindungen zwischen verschiedenen Zeta-Funktionen und den Energieniveaus anderer Arten von chaotischen Systemen. Anstatt diese hier herauszuschreiben (ich kann das nicht zusammenfassen, da ich es selbst nicht gut verstehe), schließe ich einfach mit einem Zitat aus dem Artikel:

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die intuitivere Entwicklung des Quantenchaos fruchtbarere Vorhersagen über die Verteilung von Primzahlen (und darüber hinaus) ermöglicht. Andererseits führt die vorsichtigere Entwicklung der Primzahltheorie zu genaueren Vorhersagen im Quantenchaos.

Ich war mir dessen bis vor kurzem nicht bewusst, als ich beiläufig diesen Artikel über Ramanujan -Ausdrücke für modulare Formen las (die eine Form holomorpher Funktionen sind, die bestimmte Gitter unveränderlich lassen und für ihre zahlentheoretischen Anwendungen ausgiebig untersucht werden). Anscheinend gibt es etwas namens "modulare Schwarze Löcher", von dem ich nicht die leiseste Ahnung habe, aber es erwähnt, dass sie normalen Schwarzen Löchern thermodynamisch nahe kommen, sodass sie zur Berechnung bestimmter Verschlüsselungsfunktionen des Ereignishorizonts verwendet werden können Freiheitsgrade

Ich hätte lieber jemanden, der eine maßgebliche Antwort gibt, in der weitere Details dazu erwähnt werden, da meine Abschweifungen mehr oder weniger unverändert aus dem Artikel entnommen sind. Ich hoffe, jemand, der das wirklich versteht, ärgert sich genug über meine Antwort und gibt eine echte Antwort.

Ich bewege mich hier auf dünnem Eis, aber ich weiß, dass Leute in der Zahlentheorie modulare Formen studieren, und das hängt mit Partitionsfunktionen zum Beispiel der konformen Feldtheorie zusammen.

Das zweibändige „ Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry “, herausgegeben von Cartier et al., ist eine großartige Sammlung von Artikeln.

Mein anderer Vorschlag wäre, einen Blick auf diese Seite zu werfen ("Zahlentheorie und Physik am Scheideweg"-Workshop in Banff) - die untere Hälfte der Seite listet eine beträchtliche Anzahl der Bereiche auf, in denen Physik und Zahlentheorie zusammen gedeihen.

Es gibt eine sogenannte RIEMANN-HYPOTHESE, die eine tiefe Beziehung zwischen den Wurzeln der Riemann-Zeta-Funktion und den Eigenwerten eines Hamilton-Operators hat

http://arxiv.org/abs/1101.3116

http://findarticles.com/p/articles/mi_m1200/is_7_174/ai_n30887057/

und mein bescheidener Artikel zu diesem Thema http://vixra.org/pdf/1007.0005v8.pdf in der Tat ist die RIEMANN-HYPOTHESE nur darauf ausgelegt, WKB zu verwenden, um einen Hamilton-Operator zu finden, dessen Eigenwerte das Quadrat der RIEMANN-Nullen (imaginärer Teil) und sein FUNKTIONAL sind DETERMINANT ist nur die RIemann-Xi-Funktion