Mathematisch strenger QFT-Text

Diese Frage kann nicht so beantwortet werden, wie sie gestellt wird. Es gibt keine allgemeine mathematisch strenge Definition von QFT im Allgemeinen, sondern verschiedene Ansätze mit unterschiedlichen Zielen und Anwendungen.

1. Da ist zunächst die sogenannte Axiomatische Quantenfeldtheorie , ein Versuch, Quantenfeldtheorien mathematisch axiomatisch zu formulieren. Beachten Sie, dass solche Ansätze physikalisch gesehen bereits auf der Quantenebene beginnen und den Prozess der Quantisierung nicht diskutieren. Beispiele für Bücher, die die berühmten „ Gårding-Wightman-Axiome “ diskutieren, sind zum Beispiel:

   • RF Streater und AS Wightman: PCT, Spin und Statistiken und all das. Band von Princeton Landmarks in Physics . Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1964.
   • E. de Faria, W. de Melo: Mathematische Aspekte der Quantenfeldtheorie . Band 128 der Cambridge Studies in Advanced Mathematics . Cambridge University Press, Cambridge 2010.
   • M. Reed, B. Simon: Methoden der modernen mathematischen Physik. II: Fourier-Analyse, Selbstadjungiertheit. Akademische Presse, 1975.
   • M. Schottenloher: Kapitel 8: Axiome der relativistischen Quantenfeldtheorie in einer mathematischen Einführung in die konforme Feldtheorie . Band 759 in Lecture Notes in Physics . Springer, Berlin, Heidelberg, 2008.

   Es gibt auch einige gute Vorlesungsmitschriften, die Sie online finden können (einfach googeln):

   • W. Dybalski: Vorlesungen zu mathematischen Grundlagen der QFT .
   • M. Keyl: Mathematische Aspekte der Quantenfeldtheorie .

   Ein großer Erfolg dieser Axiome ist zum Beispiel die „Haag-Ruelle Streutheorie“. Teile davon werden in den oben zitierten Referenzen diskutiert.

   Es gibt auch Axiome für die euklidische QFT (sog. „ Osterwalder-Schrader-Axiome “). Diese Axiome können entweder in Form von Schwinger-Funktionen oder in Form von Pfadintegralen (unter Verwendung von Maßen für den Raum temperierter Verteilungen; unter Verwendung des „Bochner-Minlos-Theorems“) formuliert werden. Eine Standardreferenz dafür ist

   • A. Jaffe, J. Glimm: Quantenphysik: Eine funktional integrale Sichtweise. Springer, NewYork, 1987.

   Mit der axiomatischen QFT verwandt ist die „ Konstruktive Quantenfeldtheorie “, ein Bereich der Mathematik, der versucht, Beispiele für nicht-perturbative und interaktive QFTs zu finden, die diese Axiome erfüllen. Auch das Buch von A. Jaffe und J. Glimm ist ein schöner Ausgangspunkt für diese Sichtweise.

   Wie in den Kommentaren darauf hingewiesen wurde, war es bisher nur möglich, solche Theorien in niedrigen Dimensionen zu konstruieren (siehe zum Beispiel diesen Physik-SE-Beitrag ). Beachten Sie außerdem, dass die Suche nach ähnlichen axiomatischen Ansätzen für Quanteneichtheorien immer noch eine offene Frage ist. Letztendlich ist dies eines der „ Millennium-Preis-Probleme “.

   Ein weiteres nettes Buch, das sowohl die Wightman-Axiome als auch die Osterwalder-Schrader-Axiome und einige allgemeine Aspekte der nicht-perturbativen QFT diskutiert, ist

   • F. Strocchi: Eine Einführung in die nicht-perturbativen Grundlagen der Quantenfeldtheorie. Oxford Science Publications, 2013.

2. Ein weiteres mathematisches Thema in der QFT ist die " Causal Perturbation Theory " (manchmal auch als " Finite Quantum Field Theory " bezeichnet), die eine mathematisch strenge Konstruktion der perturbativen Quantenfeldtheorie ist, basierend auf dem "Epstein-Glaser-Ansatz" der Renormierung. Zu den Standardreferenzen gehören

   • G. Scharf: Endliche Quantenelektrodynamik. Der kausale Ansatz (3. Auflage). Dover, Mineola, NewYork, 2014.
   • G. Scharf: Eichfeldtheorien: Spin One und Spin Two: 100 Jahre nach der Allgemeinen Relativitätstheorie . Dover, Mineola, NewYork, 2016.

   (Beachten Sie, dass der Name des zweiten Bandes in späteren Ausgaben geändert wurde. Die erste Ausgabe hieß Quantum Gauge Theories – A True Ghost Story . Wie der Name andeutet, fügte der Autor in der späteren Ausgabe einige Diskussionen über Spin-2-Teilchen und Schwerkraft hinzu als effektive Quantenfeldtheorie ("perturbative Quantengravitation").)

3. Ein moderner Ansatz zur Quantenfeldtheorie, der die Zuordnung von Algebren von Observablen axiomatisiert, ist die „ Algebraische Quantenfeldtheorie “, basierend auf den „ Haag-Kastler-Axiomen “. Es gibt auch viele gute Bücher über diesen Ansatz. Beispiele sind

   • H. Araki: Mathematische Theorie der Quantenfelder , Oxford Science Publications, 1999.
   • R. Haag: Lokale Quantenphysik. Felder, Teilchen, Algebren . Springer, Berlin, Heidelberg, 1996.
   • R. Brunetti, C. Dappiaggi, K. Fredenhagen und J. Yngvasson (Herausgeber): Advances in Algebraic Quantum Field Theory . Band von Mathematica Physics Studies . Springer International Publishing, 2015.

   Ein Buch über störende Aspekte der algebraischen Quantenfeldtheorie und der lokal kovarianten Quantenfeldtheorie (einschließlich gekrümmter Raumzeit) ist

   • K. Rejzner: Perturbative algebraische Quantenfeldtheorie. Eine Einführung für Mathematiker. Band der Mathematischen Physik Studies . Springer International Publishing, 2016.

   Dies ist jedoch ein sehr aktives Forschungsgebiet und es gibt viel mehr Bücher da draußen. Überprüfen Sie zum Beispiel diese nlab-Seite oder diese Website .

4. Ein weiterer moderner Ansatz zur QFT ist die sogenannte „ Funktoriale Quantenfeldtheorie “, die auf der Diskussion der topologischen QFT im Sinne der „ Atiyah-Segal-Axiome “ basiert, die wiederum auf früheren axiomatischen Formulierungen der konformen Feldtheorie beruhen G. Segal. Ich bin kein Experte auf diesem Gebiet. Sehen Sie sich zum Beispiel diese nlab-Seite an .

5. Wenn Sie sich für den Prozess der Quantisierung interessieren , gibt es auch einige mathematische Ansätze wie „ Geometrische Quantisierung “ und „Deformationsquantisierung“. Sie können viele Bücher zu diesem Thema finden.

6. Einige Bücher, die verschiedene mathematische Aspekte und Werkzeuge der QFT behandeln, sind die Bücher von E. Zeidler:

   • E. Zeidler: Quantenfeldtheorie I: Grundlagen in Mathematik und Physik. Eine Brücke zwischen Mathematikern und Physikern . Springer, Berlin, Heidelberg, 2006.
   • E. Zeidler: Quantenfeldtheorie II: Quantenelektrodynamik. Eine Brücke zwischen Mathematikern und Physikern . Springer, Berlin, Heidelberg, 2009.
   • E. Zeidler: Quantenfeldtheorie III: Eichtheorie. Eine Brücke zwischen Mathematikern und Physikern. Springer, Berlin, Heidelberg, 2011.

   Diese Bücher enthalten viele verschiedene Themen, aber mehr über mathematische Werkzeuge als über QFT selbst. Meiner persönlichen Meinung nach behandeln sie einige wirklich interessante Dinge, sind jedoch in einem ziemlich chaotischen Stil geschrieben (manche Dinge werden mehrmals besprochen usw.).

   Ziemlich berühmt sind auch die beiden Bücher

   • P. Deligne, P. Etingof, D. Freed, L. Jeffrey, D. Kazhdan, J. Morgan, D. Morrison und E. Witten, (Herausgeber): Quantum Fields and Strings, Ein Kurs für Mathematiker. Band 1 . American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 1999.
   • P. Deligne, P. Etingof, D. Freed, L. Jeffrey, D. Kazhdan, J. Morgan, D. Morrison und E. Witten, (Herausgeber): Quantum Fields and Strings, Ein Kurs für Mathematiker. Band 2 . American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 1999.

   Diese Bücher decken auch viele interessante Aspekte der QFT ab (der erste Band enthält auch eine Diskussion der Wightman-Axiome). Beachten Sie jedoch, dass es sich bei diesen Büchern nicht wirklich um Lehrbücher handelt, sondern um Sammlungen verschiedener Vorlesungsmitschriften. Darüber hinaus behandeln sie nicht nur QFT, sondern auch andere Themen wie die Stringtheorie (insbesondere der zweite Band).

   An dieser Stelle sollte ich wohl auch das Buch hinzufügen

   • GB Folland: Quantenfeldtheorie: Ein Reiseführer für Mathematiker . Band 149 der Mathematischen Erhebungen und Monographien . American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.

   Dieses Buch ist im Grunde ein "Bottom-up"-Ansatz, bei dem der Autor QFT von der Physik in eine mathematische Sprache übersetzt.

7. Nicht direkt mit QFT verwandt, aber wenn Sie sich für mathematische Eichtheorie interessieren , gibt es auch einige nette mathematische Bücher, wie:

   • MJD Hamilton: Mathematische Eichtheorie . Band des Universitätstextes . Springer International Publishing, 2017.
   • GL Naber: Topologie, Geometrie und Eichfelder. Band 25 von Texts in Applied Mathematics (2. Auflage). Springer, NewYork, 2011.
   • G. Rudolph und M. Schmidt: Differentialgeometrie und Mathematische Physik. Teil II. Faserbündel, Topologie und Messfelder. Band Theoretische und Mathematische Physik . Springer Niederlande, 2017.

   Dies gilt natürlich für die klassische Eichtheorie, ist aber beispielsweise interessant, wenn man die Lagrange-Funktion des Standardmodells mathematisch verstehen möchte.

Zu guter Letzt sei noch erwähnt, dass meine Liste natürlich keineswegs vollständig ist. Es gibt auch viele andere Themen in der mathematischen QFT. Zum Beispiel gibt es auch etwas Literatur für mathematische QFT in der Physik der kondensierten Materie oder Literatur zu etwas speziellerem Material, wie zu CFTs oder Supersymmetrie. Darüber hinaus gibt es auch die sogenannte „nicht-kommutative QFT“, das ist ein Ansatz der QFT, der auf nicht-kommutativer Geometrie basiert (z. B. „ nicht-kommutatives Standardmodell “). Ich füge keine weiteren Referenzen zu diesen fortgeschritteneren und/oder spezialisierteren Dingen hinzu.