Welche QFTs wurden konsequent konstruiert?

Welche QFTs haben mathematisch strenge Konstruktionen a la AQFT? Ich verstehe, dass es viele solcher Konstruktionen in 2D gibt, insbesondere 2D-CFT wurde ausgiebig mathematisch untersucht. Aber auch in 2D gibt es viele Theorien ohne bekannte Konstruktionen, zB nichtlineare Sigma-Modelle in den meisten gekrümmten Zielräumen. In höheren Dimensionen ist die Liste der unfreien Beispiele viel kürzer.

Ich suche eine vollständige Liste der bisher gebauten QFTs mit Bezug auf jede Konstruktion. Außerdem wäre ein guter aktueller Übersichtsartikel des gesamten Themas schön.

BEARBEITEN: Diese Frage betrifft QFTs in Minkowski- (oder zumindest euklidischer) Raumzeit, nicht Raumzeiten mit Krümmung und / oder nicht trivialer Topologie.

G. Scharf glaubt, dass er in seiner "Finite Quantum Electrodynamics" (einer realistischen QFT) QED rigoros konstruiert hat ;-)
@Vladimir: Scharf liefert nur eine Störungskonstruktion nach der Methode von Epstein und Glaser. Ich denke, die Frage bezieht sich auf strenge, nicht störende Konstruktionen.
@Squark: was meinst du mit "a la AQFT"? Möchten Sie nur eine Liste von Theorien, die mit den Methoden der algebraischen QFT erstellt wurden? Oder möchten Sie die Liste aller Theorien, die mit welcher Methode auch immer konstruiert wurden und dennoch die Wightman-Axiome der Axiomatischen QFT erfüllen?
@Abdelmalek: Ich meine Theorien, die mit welchen Methoden auch immer konstruiert wurden. Alles, was vernünftigerweise als strenge Konstruktion einer QFT bezeichnet werden kann. Ich denke, die Wightman-Axiome sind wahrscheinlich zu restriktiv, aber Haag-Kastler sollte wahrscheinlich für alle vernünftigen Beispiele gelten
Meine Herren, bisher betreffen alle Antworten nur den 2D-Fall. Ich nehme an, es gibt zumindest einige interagierende Beispiele in 3D, oder?
@Squark: Ich glaube nicht, dass Wightman-Axiome zu restriktiv sind. Mit Haag-Kastler lässt es sich einfach einfacher arbeiten. Unter geeigneten technischen Voraussetzungen kann man von einem zum anderen und zurück gehen.
@Pieter: Die Wightman-Axiome müssen erweitert werden, um Theorien wie QCD- und 2D-Sigma-Modelle zu behandeln, bei denen die Algebra der Observablen von lokalen Operatoren generiert wird, die selbst keine Observablen sind (weil sie keine genau definierten Korrelationsfunktionen haben). In diesen Theorien funktioniert die Staat-Operator-Korrespondenz, die in die Wightman-Axiome eingebrannt ist, nicht ganz. Dies ist kein unüberwindbares Hindernis: So etwas wie die Holland-Wald-Axiome ist wahrscheinlich in Ordnung.

Antworten (6)

Die Liste wäre hier etwas zu lang. Es hängt auch davon ab, wie anspruchsvoll Sie den Begriff "konstruiert werden" haben. Wenn Sie eine ziemlich restriktive Definition nehmen: Alle Wightman-Axiome wurden aufgestellt, dann schließt das Yang-Mills aus, obwohl Bałaban wichtige Arbeiten geleistet hat, wie von José erwähnt, und auch andere Autoren: Federbush, Magnen, Rivasseau, Sénéor. Beispiele für Theorien, bei denen alle Wightman-Axiome überprüft wurden:

  • Massive 2D-Skalartheorien mit polynomialen Wechselwirkungen, siehe diesen Artikel von Glimm, Jaffe und Spencer.

  • Fest ϕ 4 in 3d, siehe diesen Artikel von Feldman und Osterwalder sowie diesen von Magnen und Sénéor.

  • Massiver Gross-Neveu in 2d siehe diesen Artikel von Gawędzki und Kupiainen und diesen von Feldman, Magnen, Rivasseau und Sénéor.

  • Massives Thirring-Modell, siehe diesen Artikel von Fröhlich und Seiler und diesen neueren von Benfatto, Falco und Mastropietro.

Beachten Sie, dass ein konformes AQFT-Netz wie in den Antworten von Marcel und Pieter nur die "chiralen Daten" einer CFT liefert, keine vollständige CFT, die für alle Gattungen definiert ist. Für den rationalen Fall wurden die vollständigen 2d CFTs konstruiert und von FFRS klassifiziert . Auch Liang Kong hat Vorstellungen entwickelt, die eine chirale CFT zu einer vollständigen CFT (rigoros) machen, siehe diese Übersicht .

Darüber hinaus wurden natürlich topologische QFTs rigoros konstruiert, einschließlich topologischer Sigma-Modelle auf nichttrivialen Zielen. Über „ TCFT “ beinhaltet dies das A-Modell und das B-Modell in 2d.

OK, aber ich habe wirklich über QFT in der Minkowski-Raumzeit (oder zumindest der euklidischen Raumzeit) nachgedacht.
Ich habe den Kommentar noch nicht in meiner Liste gemacht. Man kann immer ein Produkt aus zwei chiralen Teilen nehmen EIN + ⊗ EIN − um ein Modell des 2D-Minkowski-Raums und weiterer Extensins davon zu erhalten. Ich denke, bei FFRS geht es um die Konstruktion einer CFT auf einem Raum mit nicht-trivialer Topologie?
Ja, für nichttriviale Topologie. Das meine ich mit "für alle Gattungen". Kongs Konstruktion befasst sich auch mit diesem Fall, wenn auch weniger explizit, denke ich.
Übrigens, nur fürs Protokoll: Während es vielleicht nicht als "vollständige Konstruktion" gilt, wurde in letzter Zeit einiges daran gearbeitet, die üblichen Werkzeuge der perturbativen QFT in rigorose Konstruktionen von "perturbativen AQFT-Netzen" umzuwandeln. Einige Referenzen sind hier ncatlab.org/nlab/show/perturbation%20theory#ReferencesInAQFT

Für CFT gibt es viele Beispiele. Ich werde einige Beispiele für lokale konforme Netze auf dem Kreis (oder der reellen Linie) geben. Das von Pieter erwähnte Ising-Modell ist das Virasoro-Netz mit c = 1 / 2 . Das Virasoro-Netz kann für das Diskrete konstruiert werden c < 1 und c > 1 . Siehe zB.

  • Kawahigashi Y. Longo R. (2004) "Klassifizierung lokaler konformer Netze. Fall c<1" Ann. von Math. 160, S. 493-522

Sie klassifizieren außerdem alle lokalen konformen Netze mit zentraler Ladung c < 1 . Positive Energiedarstellungen von Schleifengruppen ergeben konforme Netze.

  • Jürg Fröhlich und Fabrizio Gabbiani. Operatoralgebren und konforme Feldtheorie. Komm. Mathematik. Phys. Band 155, Nummer 3 (1993), 569-640. Verknüpfung

Die mit Gittern und ihren Orbifolds verbundenen konformen Netze werden in konstruiert

  • Dong & Xu. Mit Gittern und ihren Orbifolds assoziierte konforme Netze. Advances in Mathematics (2006) Band: 206, Ausgabe: 1, Seiten: 279-306

und in derselben Ausgabe haben Kawahigashi und Longo das "Mondschein" -Netz konstruiert.

  • Kawahigashi und Longo. Lokale konforme Netze, die aus gerahmten Knotenoperatoralgebren entstehen. Erw. Mathematik. 206 (2006), 729-751.

Für massive Modelle in 2D konstruierte Lechner die faktorisierenden S-Matrix-Modelle, in denen es sich a priori nur um "keillokale" Netze handelt, aber er schaffte es, für eine Klasse zu zeigen, die die Existenz lokaler Observablen zeigt.

  • Lechner. Konstruktion von Quantenfeldtheorien mit faktorisierenden S-Matrizen. Commun.Math.Phys. 277, 821-860 (2008)
OK, das sind schöne Beispiele. Aber hat jemand eine vollständige Liste strenger 2D-QFTs zusammengestellt? Oder zumindest CFTs?
Sie können eine Liste von Konstruktionen erstellen, aber zum Beispiel ergibt jedes gerade Gitter ein konformes Netz oder Vertex Operator Algebra (VOA). Selbst die Klassifikation von selbstdualen Gittern scheint aussichtslos zu sein...
Nun, ich brauche keine Klassifizierung, eine bloße Liste bekannter Konstruktionen reicht aus
Übrigens gibt es auch eine Arbeit von Carpi, Kawahigashi, Longo, Weiner, wie man von einem einheitlichen VOA (+ einige technische Ass.) zu einem konformen Netz kommt

Ich nehme an, Sie wissen, dass Freifeldtheorien konstruiert werden können (in einer beliebigen Dimension der Raumzeit, glaube ich).

In der algebraischen Quantenfeldtheorie (à la Haag) gibt es beispielsweise das konforme Ising-Modell. Mehr dazu finden Sie in diesen Referenzen:

  • Mack, G. & Schomerus, V. (1990). Konforme Feldalgebren mit Quantensymmetrie aus der Theorie der Superselektionssektoren. Communications in Mathematical Physics, 134(1), 139–196.
  • Böckenhauer, J. (1996). Lokalisierte Endomorphismen des chiralen Ising-Modells. Communications in Mathematical Physics, 177(2), 265–304.

In letzterem "lokalisierte Endomorphismen" wie im Doplicher-Haag-Roberts-Programm zu Superselektionssektoren. Siehe zum Beispiel dieses Papier auf dem arXiv.

Es gibt sicher noch mehr Beispiele, auch im Wightman-Setting, aber die sind mir nicht so bekannt.

Ein Ansatz zur rigorosen Konstruktion von Eichtheorien erfolgt über das Gitter. In den 1980er Jahren gab es einige Artikel – ich erinnere mich an die von Tadeusz Bałaban (MathSciNet) (inSPIRE) in Communications – zu diesem Thema.

Alle QFTs auf dem Gitter sind wohldefiniert. Es mag wahr sein, dass alle wohldefinierten QFTs entweder Gittertheorie oder die untere Energiegrenze einer Gittertheorie sind. Siehe einen verwandten Beitrag Rigor in der Quantenfeldtheorie

Verschrobener Nitpick: Alle QFTs auf einem endlichen Gitter sind wohldefiniert. Ein unendliches Gitter kann echte Herausforderungen darstellen.
Wir haben niemals unendliche Gitter. Auch das beobachtbare Universum hat ein endliches Volumen.
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