Ränge von Reals im Constructible Universe LLL

Im Folgenden bin ich auf Ihre spezifischen Fragen eingegangen. Aufgrund Ihrer zahlreichen Fragen dazu denke ich jedoch, dass es nützlicher sein könnte, eine Liste guter Quellen anzugeben, also werde ich das zuerst tun.

• Über "Lücken" im konstruierbaren Universum: Marek/Srebrny, Lücken im konstruierbaren Universum . Die Einleitung ist sehr gut lesbar und gibt Ihnen einen guten Eindruck davon, was vor sich geht.

• Über die Mastercode-Hierarchie (und was passiert, wenn neue reelle Zahlen erscheinen): Hodes' Artikel Jumping through the transfinite . Auch dies ist eng mit der Lückenforschung verbunden. Wie das obige Papier ist die Einführung sehr gut zu lesen.

• Über die allgemeine Struktur von$L$: Devlins Buch Constructibility . Leider hat es einen schwerwiegenden Fehler, aber dieser Fehler hat keinen Einfluss auf die wichtigen Ergebnisse; siehe diese Rezension von Stanley für eine Zusammenfassung des Problems (und wenn Sie daran interessiert sind, wie man es behebt, dieses Papier von Mathias ) . Letztendlich ist der Fehler sehr begrenzt und leicht zu vermeiden, sobald Sie wissen, dass er existiert - im Grunde bezweifeln Sie alles, was eine Behauptung über die (treffend benannte) Mengentheorie "BS" beinhaltet, aber so ziemlich alles andere ist richtig.

Nun scheint es, dass jede dieser Mengen im Prinzip in der Logik erster Ordnung ohne Parameter definiert werden könnte (obwohl ich mir nicht sicher bin, wie dies in der Praxis funktionieren würde).

Hier gibt es keine Subtilität: Wir definieren zuerst die Addition und Multiplikation von endlichen Ordnungszahlen, und jetzt können wir die üblichen Definitionen verwenden$(\mathbb{N}; +,\times)$dieser Mengen in den mengentheoretischen Kontext. Tatsächlich gibt es einen natürlichen Weg (die Ackermann-Interpretation), um dazwischen zu gehen$L_\omega$Und$(\mathbb{N};+,\times)$, also Definierbarkeit in$L_\omega$kann begründet werden, indem Dinge in der vertrauteren Umgebung der Definierbarkeit in der Arithmetik bewiesen werden; Dies lässt uns zB argumentieren, dass die Busy Beaver-Funktion tatsächlich in ist$L_{\omega+1}$.

Wäre ein nicht-konstruierbares Reales (das seine Existenz annimmt) in gewissem Sinne unendlich komplex, da es in keiner Form beschrieben werden könnte, weder direkt noch durch einen kumulativen Prozess?

Sicher nicht: zB$0^\sharp$ist definitiv definierbar (es ist$\Delta^1_3$, und ist insbesondere in Arithmetik zweiter Ordnung definierbar), ist aber nicht in$L$(sofern es überhaupt existiert). ZFC kann nicht beweisen, dass etwas der Definition von entspricht$0^\sharp$existiert, aber es kann beweisen, dass es nicht konstruierbar ist, wenn es existiert.

Gegeben sei eine bestimmte zählbare Ordnungszahl$\alpha$, können wir immer ein echtes X mit L-Rang finden (also explizit beschreiben).$\alpha$?

NEIN; für viele (tatsächlich Club-viele) Ordnungszahlen$<\omega_1^L$, haben wir auf dieser Ebene keine neuen reellen Zahlen. In der Tat, die$L$-Hierarchie ist "mit Lücken gefüllt" - auch sehr lange Lücken. Wenn Sie "Lücken in$L$-Hierarchie" finden Sie viele Informationen dazu; grob gesagt eine Ordnungszahl$\alpha<\omega_1^L$beginnt eine "lange" Lücke, wenn es "sehr" ähnlich ist$\omega_1^L$.

In Bezug auf die Komplexität werden die Realen deutlich komplexer als ihre$L$-rank steigt, aber gibt es eine Möglichkeit, dies genau zu formalisieren?

Nun, das Offensichtliche ist, dass wenn$A$hat$L$-Rang größer als die von$B$, dann der Satz$A$ist in der Struktur nicht definierbar$(\mathbb{N}; +,\times, B)$(d. h. Arithmetik, erweitert um ein Prädikat, das die natürlichen Zahlen in benennt$B$). Insbesondere$A\not\le_TB$. Andererseits,$A$vielleicht nicht berechnen$B$entweder (zB wenn$A$ist "ausreichend Cohen generisch" rüber$L_\beta$Dann$A$berechnet kein nicht berechenbares reelles in$L_\beta$- insbesondere wird kein Real-In berechnet$L_\beta$nicht in$L_{\omega+1}$).