Reichen die Maxwell-Gleichungen aus, um das Coulomb-Gesetz abzuleiten?

Question

Reichen die Maxwell-Gleichungen aus, um das Coulomb-Gesetz abzuleiten?

Kräfte
Physik
Coulomb-Gesetz
Elektrostatik
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen

achatrch

Reichen die 8 Maxwell-Gleichungen aus, um die Formel für das elektromagnetische Feld abzuleiten, das von einer stationären Punktladung erzeugt wird, was dem Gesetz von Coulomb entspricht?

F = k_{e} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} ?

$F~=~k_e \frac{q_1q_2}{r^2}~?$ Wenn ich mich nicht irre, muss ihre allgemeine Lösung aufgrund der Tatsache, dass die Maxwell-Gleichungen Differentialgleichungen sind, beliebige Konstanten enthalten. Sind nicht einige Randbedingungen und Anfangsbedingungen erforderlich, um eine eindeutige Lösung zu haben? Wie kann man ohne diese Bedingungen sagen, dass eine stationäre Punktladung kein Magnetfeld erzeugt und das elektrische Skalarpotential gleich ist

Φ (r) = \frac{e}{r} .

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{e}{r}.$

Wenn die Bedingungen benötigt werden, was sind das für Bedingungen für die oben beschriebene Situation (Bereich der stationären Punktladung)?

QMechaniker

Für im Wesentlichen die entgegengesetzte Frage (v3) siehe diesen Phys.SE-Beitrag.

achatrch

Ja, ich habe diesen Beitrag bereits gelesen, aber meine Frage ist eine ganz andere.

Daniel Blay

Wäre es nicht trivial, den Divergenzsatz auf das Gaußsche Gesetz anzuwenden, um es in seiner integralen Form zu erhalten? Von hier aus scheint es einfach genug zu sein, die üblichen Tricks anzuwenden, um das elektrische Feld einer Punktladung zu finden und dann mit einer Ladung zu multiplizieren, um Ihre Kraft zu erhalten. Das ist doch sicher das Coulombsche Kraftgesetz?

Daniel

Warum 8 Maxwellsche Gleichungen und nicht 4? Ich vermisse etwas?

achatrch

@DanilH: Ich meinte 8 Skalargleichungen. Von den 4 Maxwell-Gleichungen sind zwei Vektorgleichungen.

achatrch

@Daniel Blay: Ich denke, wenn Sie übliche Tricks sagen, meinen Sie, eine kugelförmige Oberfläche um die Punktladung herum zu nehmen. Das Problem für mich ist, dass wir wissen, dass die Größe des elektrischen Feldes einer Punktladung kugelsymmetrisch ist. Außerdem, wie können wir ableiten, dass es kein Magnetfeld gibt (wenn es möglich ist, aus den Maxwell-Gleichungen abzuleiten)? :)

Daniel

Sphärische Symmetrie ist in der Maxwell-Gleichung nicht enthalten. Um vom Gaußschen Gesetz zum Coulombschen Gesetz für punktförmige Teilchen zu gelangen, die ein kugelsymmetrisches elektrisches Feld im Raum erzeugen, muss diese Annahme gemacht werden. Außerdem sagen Ihnen die Maxwell-Gleichungen nicht, dass es kein Magnetfeld gibt, sie sagen Ihnen nur, dass es keine magnetischen Monopole gibt (wieder das Gaußsche Gesetz). Elektrische und magnetische Felder sind zwei Seiten desselben Feldes: elektromagnetisches Feld.

Antworten (4)

Reichen die Maxwell-Gleichungen aus, um das Coulomb-Gesetz abzuleiten?

Für im Wesentlichen die entgegengesetzte Frage (v3) siehe diesen Phys.SE-Beitrag.
Ja, ich habe diesen Beitrag bereits gelesen, aber meine Frage ist eine ganz andere.
Wäre es nicht trivial, den Divergenzsatz auf das Gaußsche Gesetz anzuwenden, um es in seiner integralen Form zu erhalten? Von hier aus scheint es einfach genug zu sein, die üblichen Tricks anzuwenden, um das elektrische Feld einer Punktladung zu finden und dann mit einer Ladung zu multiplizieren, um Ihre Kraft zu erhalten. Das ist doch sicher das Coulombsche Kraftgesetz?
Warum 8 Maxwellsche Gleichungen und nicht 4? Ich vermisse etwas?
@DanilH: Ich meinte 8 Skalargleichungen. Von den 4 Maxwell-Gleichungen sind zwei Vektorgleichungen.
@Daniel Blay: Ich denke, wenn Sie übliche Tricks sagen, meinen Sie, eine kugelförmige Oberfläche um die Punktladung herum zu nehmen. Das Problem für mich ist, dass wir wissen, dass die Größe des elektrischen Feldes einer Punktladung kugelsymmetrisch ist. Außerdem, wie können wir ableiten, dass es kein Magnetfeld gibt (wenn es möglich ist, aus den Maxwell-Gleichungen abzuleiten)? :)
Sphärische Symmetrie ist in der Maxwell-Gleichung nicht enthalten. Um vom Gaußschen Gesetz zum Coulombschen Gesetz für punktförmige Teilchen zu gelangen, die ein kugelsymmetrisches elektrisches Feld im Raum erzeugen, muss diese Annahme gemacht werden. Außerdem sagen Ihnen die Maxwell-Gleichungen nicht, dass es kein Magnetfeld gibt, sie sagen Ihnen nur, dass es keine magnetischen Monopole gibt (wieder das Gaußsche Gesetz). Elektrische und magnetische Felder sind zwei Seiten desselben Feldes: elektromagnetisches Feld.

Emilio Pisanty · Answer 1

Die kurze Antwort lautet ja, und tatsächlich benötigen Sie nur eine einzige Maxwell-Gleichung, das Gaußsche Gesetz, zusammen mit der Lorentz-Kraft, um das Coulombsche Gesetz zu erhalten.

Genauer gesagt benötigen Sie das Gaußsche Gesetz in seiner integralen Form, die aufgrund des Satzes von Gauß der Differentialform für Felder mit gutem Verhalten entspricht . Sie nutzen also das Gesetz

\nabla \cdot E = ρ / ϵ_{0} \Leftrightarrow \oint_{S} E \cdot d a = Q / ϵ_{0},

$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0\quad\Leftrightarrow\quad \oint_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=Q/\epsilon_0,$ wo

Q

$Q$ ist die von der (beliebigen) Oberfläche eingeschlossene Gesamtladung

S

$S$ .

Um das Coulombsche Gesetz abzuleiten, betrachten Sie das elektrische Feld eines einzelnen Punktteilchens, mit nichts anderem im Universum. Aufgrund der Isotropie (die als zusätzliches Postulat hinzugefügt werden muss) ist das elektrische Feld bei einer Kugel vom Radius $r$ auf die Ladung zentriert, muss radial und überall gleich groß sein. Das heißt, das Integral ist trivial und das elektrische Feld muss es sein

E = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \hat{r} .

$\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}}.$

Gekoppelt mit dem Lorentzschen Kraftgesetz bei Nullgeschwindigkeit für das Testteilchen (da das Coulombsche Gesetz nur in der Elektrostatik gilt) ergibt dies das Coulombsche Gesetz.

Es ist nicht offensichtlich, dass diese hochsymmetrische Situation die allgemeine elektrostatische Kraft für mehrere Teilchen liefern kann. Dies ergibt sich aus dem Überlagerungsprinzip, das den Kern der klassischen Elektrodynamik bildet und sich aus der Linearität der Maxwell-Gleichungen ergibt. Dies gibt Ihnen das Feld für eine einzelne Quelle; Fügen Sie die Felder für alle einzelnen Quellen hinzu und Sie erhalten das Feld für die Sammlung von Quellen.

Janek_Kozicki · Answer 2

Die genaue Herleitung geht wie folgt. Sie gehen vom Gauß'schen Gesetz aus und integrieren auf beiden Seiten über etwas Band V:

\overset{d ich v}{\vec{\nabla}} \cdot \vec{E} = \frac{1}{ϵ_{0}} ρ / \underset{v}{∭} d^{3} \vec{r}

$\stackrel{\tiny div}{\vec{\nabla}}\cdot\vec{\mathbf{E}}=\frac{1}{\epsilon_0}\rho \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Big/\iiint\limits_V\,d^3\vec{r}$ Wechseln Sie dann zur Integration über eine geschlossene Oberfläche und beachten Sie auch, dass die Gesamtladung in diesem Volumen Q ist:

\underset{v}{∭} \overset{d ich v}{\vec{\nabla}} \cdot \vec{E} d^{3} \vec{r} = \oint \vec{E} \cdot d \vec{σ} = \underset{v}{∭} \frac{1}{ϵ_{0}} ρ d^{3} \vec{r} = \frac{Q}{ϵ_{0}}

$\iiint\limits_V\stackrel{\tiny div}{\vec{\nabla}}\cdot\vec{\mathbf{E}}\,\,d^3\vec{r}=\oint\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec\sigma=\iiint\limits_V\frac{1}{\epsilon_0}\rho\,\,d^3\vec{r}=\frac{Q}{\epsilon_0}$ Nun müssen Sie beachten, dass das Integrationsvolumen ziemlich willkürlich ist, ebenso wie die Oberfläche, also verwenden wir eine Kugel. Sie können das Integral über eine Kugel beschreiben mit:

\frac{Q}{ϵ_{0}} = \oint \vec{E} \cdot d \vec{σ} = \int_{ϕ = 0}^{ϕ = 2 π} \int_{θ = 0}^{θ = π} E \hat{\vec{n}} \cdot \hat{\vec{n}} R d ϕ R d θ = 4 π R^{2} E / \frac{1}{4 π R^{2}}

$\frac{Q}{\epsilon_0}=\oint\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec\sigma=\int\limits_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\int\limits_{\theta=0}^{\theta=\pi}\mathbf{E}\hat{\vec{n}}\cdot\hat{\vec{n}}\,R\,d\phi\,R\,d\theta=4\pi R^2\mathbf{E}\,\,\,\,\,\,\Big/\frac{1}{4\pi R^2}$ Und so erhalten Sie:

E = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}}

$\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}$ Es sollte sein:

\vec{E} = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \hat{r}

$\vec{\mathbf{E}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\hat{\mathbf{r}}$ Aber ich habe den normalen Vektor auf dem Weg verloren (ich hoffe, dass jemand dies korrigieren und diesen Beitrag bearbeiten kann).

Jetzt verwenden Sie das Lorentz-Kraft-Gesetz (wobei $\vec{\mathbf{B}}=\vec 0$ ):

{\vec{F}}_{l Ö r} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B} = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \hat{r}

$\vec{\mathbf{F}}_{lor}=q \vec{\mathbf{E}}+q \vec{\mathbf{V}}\times\vec{\mathbf{B}}=\frac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\hat{\mathbf{r}}$ Und so erhalten Sie das Gesetz der Coulomb-Kraft.

Nein, Sie haben den Einheitsvektor nicht verloren. Sie haben die Ladung berechnet, die kein Vektor ist. Es ist ein geometrisches Argument (bereits in der vorherigen Antwort angegeben physical.stackexchange.com/a/44423/16689 : Das elektrische Feld an einer Kugel mit Radius r, das auf die Ladung zentriert ist, muss radial und durchgehend gleich groß sein ), das Ihnen dies ermöglicht Wiederherstellung der Vektorform des elektrischen Feldes.
danke, ich hatte auf eine strengere (mathematisch gesehen) Methode zur Wiederherstellung des Einheitsvektors gehofft. Es ist wahr, dass Ladung kein Vektor ist, daher ist es unmöglich, bei dieser Berechnung einen Einheitsvektor zu erhalten. Aber einfach "hinzufügen" (schreiben), nachdem die Ableitung abgeschlossen ist, ist nicht das, was ich bevorzuge. Vielleicht können wir es streng mathematisch tun, wenn wir die verwenden $\hat{\vec{z}}$ Achse, die derzeit nur zur Definition der verwendet wird $\theta$ Winkel innerhalb des Integrals.

wunderbar · Answer 3

Wenn Sie nach dem Gesetz von Columb für die elektrischen Felder fragen , ja , was Sie in den Antworten anderer sehen können.

Wenn Sie nach dem Gesetz von Columb für die elektrische Kraft fragen ,

NEIN!

$\text{NO!}$

Maxwell-Gleichungen sagen Ihnen NICHT, wie die Kraft auf die Ladungen wirkt $q$ oder Strömungen $\vec{J}$ .

Einfach gesagt, um klassisches E&M VOLLSTÄNDIG zu verstehen (dh man kann die Physik aus einem Anfangswertproblem bestimmen, um alle seine Konsequenzen zu bestimmen - die Physik dreht sich alles darum, die Zukunft zu bestimmen/vorherzusagen), braucht man BEIDES:

(1) Maxwellsche Gleichungen

(2) Lorentz-Kraftgesetz (Newtonsche Mechanik, E&M-Äquivalenz der Newtonschen Gravitationskraft.)

Pointe I: (1) und (2) sind absolut unterschiedliche Dinge.

Lagrange- und Variationsprinzip EOM-Sichtweise

Wenn Sie jedoch von einem Lagrange-Standpunkt ausgehen und die Aktion aufschreiben:

S = \int (- \frac{1}{2} | f |^{2} + EIN \land * J) = \int d^{3} x d t (- \frac{1}{4} f_{μ v} f^{μ v} + {EIN}_{μ} J^{μ})

$S=\int (-\frac{1}{2} |f|^2 + A \wedge *J)=\int d^3xdt (-\frac{1}{4} f_{\mu\nu} f^{\mu\nu} + A_\mu J^\mu)$ mit der 2-Form-Feldstärke

f_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$f_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ Ihnen E- und M-Felder gibt, können Sie die Maxwell-Gleichung aus den Bewegungsgleichungen (EOM) bestimmen, indem Sie das Variationsprinzip auf dem Feld 1=Formmaß anwenden

A

$A$ . Die Quelle ist ein 1-Form-Strom

J = (ρ, \vec{J})

$J=(\rho,\vec{J})$ .

Maxwell-Gleichungen: EOM in Bezug auf variierendes 1-Form-Eichfeld $A$

Durch Variieren erhält man Maxwell-Gleichungen $A$ :

d * F = J -Gaußsches Gesetz für Elektrizität, Maxwell-Amperesches Gesetz

$d*F=J \;\;\;\text{-Gauss law for electricity, Maxwell-Ampere's law}$ und

d F = d^{2} EIN = 0 -Gaußsches Gesetz für Magnetismus, Maxwell-Faraday-Gleichung

$dF=d^2A=0 \;\;\;\text{-Gauss's law for magnetism, Maxwell–Faraday equation}$

Wie sieht es mit dem Lorentzkraftgesetz aus? Sie können die räumliche Koordinate variieren $x^\mu=(t,x)$ , und Sie müssen angeben, welches massive Teilchen mit Masse $m$ die Kraft erleben $F$ , welches ist $F=m \ddot{\vec{x}}$ durch Newtonsche Mechanik. Um ein massives Teilchen in der Lagrange/Aktion anzugeben, müssen Sie nur seine kinetische Energie hinzufügen $\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2$ .

Lorentzkraftgesetz: EOM bezüglich variierender Raumzeitkoordinaten $x^\mu=(t,x)$

S = \int d^{3} x d t (- \frac{1}{4} f_{μ v} f^{μ v} + {EIN}_{μ} \land J^{μ} + \frac{1}{2} m {\dot{\vec{x}}}^{2}) \to \int d^{3} x d t (+ q Φ - q \dot{\vec{x}} \cdot \vec{EIN} + \frac{1}{2} m {\dot{\vec{x}}}^{2})

$S=\int d^3xdt (-\frac{1}{4} f_{\mu\nu} f^{\mu\nu} + A_\mu \wedge J^\mu+\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2) \to \int d^3xdt (+ q\Phi - q \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A}+\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2)$

Sie werden das Lorentz-Kraftgesetz ableiten

m \ddot{\vec{x}} = q \vec{E} + q \dot{\vec{x}} \times \vec{B}

$m \ddot{\vec{x}}=q\vec{E}+q \dot{\vec{x}} \times \vec{B}$

Pointe II: Die Aktions- und Variationsprinzipien sind sehr leistungsfähig, um (1) die Maxwell-Gleichungen und (2) das Lorentz-Kraftgesetz im selben Rahmen zu vereinen.

Die obige Skizze der Ableitung der Kraft auf Punktteilchen erscheint in guten Büchern, hat aber einen grundlegenden Fehler für Punktteilchen. Für solche Teilchen hat der Wechselwirkungsfeldterm keinen Wert, da das Feld am Teilchen singulär und der reine Feldterm unendlich ist, was jede formale Differenzierung hinfällig macht. Das Ergebnis, obwohl es richtig erscheint, ist falsch: Als Vektorpotential sind die gesamten elektrischen und magnetischen Felder am Ort des Teilchens nicht definiert $\vec{x}$ .
@ Ján Lalinský, danke, aber du verfehlst meinen Punkt. Das Feld stammt NICHT von dem Punktteilchen mit singulärer Größe, sondern von der externen Quelle, die es umgibt. Wie externer Strom, elektrische Ebenen usw. Die Ableitung erfolgt über die externen EM-Effekte auf das Punktteilchen.
Im ersten Teil Ihrer Ableitung sprechen Sie über die Ableitung von Maxwell-Gleichungen, also dort $f_{\mu\nu}, A_\mu$ sind Gesamtfelder, die von vorgeschriebenen Quellen erzeugt werden. Im zweiten Teil nach „Wie wäre es mit dem Lorentzkraftgesetz?“, wenn durch $f_{\mu\nu}, A_\mu$ Sie beziehen sich auf externe Felder, die Herleitung ist richtig, aber bitte überlegen Sie, dies in Ihrem Text deutlich zu machen: Aufgrund des ersten Teils und auch ohne ihn gehen die meisten Menschen, wenn sie diese Symbole sehen, davon aus, dass sie sich auf das gesamte Feld beziehen.

Srr · Answer 4

Angesichts des Gauß-Gesetzes UND der Lorentz-Kraft ist es möglich, das Coulomb-Gesetz abzuleiten, wie es bereits beantwortet wurde. Ich denke also, die Frage ist, ob es möglich ist, es NUR mit den vier Maxwell-Gleichungen (und nicht mit der Lorentz-Kraft) abzuleiten. Die Antwort ist immer noch ja, da die Lorentz-Kraft dem Faraday-Gesetz entspricht und daraus abgeleitet werden kann. Die Beziehung zwischen Faraday-Gesetz und Lorentz-Kraft ist in 3D nicht trivial, da das Faraday-Paradoxon auftritt (siehe Wiki). Wenn andererseits der Elektromagnetismus in der kovarianten Formulierung ausgedrückt wird, existiert kein solches Paradoxon.

Die Lorentz-Kraftformel folgt weder aus den Maxwell-Gleichungen noch aus dem Faraday-Gesetz $\nabla \times \mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$ , die Teil der Maxwell-Gleichungen ist.

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