Informationsgehalt der elektrostatischen Maxwell-Gleichungen vs. Coulomb's Law vs. Poisson's Equation

In der Elektrostatik haben wir die Maxwell-Gleichungen:

∇ ⋅ E = ρ

∇ × E = 0

Diese vier Gleichungen (die zweite Zeile steht für drei Gleichungen) können auch in Bezug auf das elektrostatische Potential geschrieben werden:

− ∇ 2 v = ρ

E = − ∇ v

Wenn wir nun die Positionen jeder Ladung in unserem System kennen, können wir das elektrostatische Feld (vollständig und vollständig, ohne dass zusätzliche Informationen erforderlich sind) mithilfe des Coulomb-Gesetzes finden:

E ( X ) = − ∇ ∫ ρ ( X ' ) 4 π | X − X ' | D 3 X '

Meine Frage ist: Inwieweit können wir dasselbe mit Maxwells Gleichungen tun? Wenn beispielsweise das Coulombsche Gesetz aus den Maxwellschen Gleichungen abgeleitet wird, muss auf die sphärische Symmetrie zurückgegriffen werden. Müssen wir das tun? Können wir die verschwindende Locke nicht irgendwie verwenden, um zu derselben Schlussfolgerung zu gelangen? Wenn wir das Coulombsche Gesetz aus der Poisson-Gleichung ableiten, müssen wir in ähnlicher Weise Randbedingungen angeben. Wir müssen spezifizieren, dass das Potential im Unendlichen eine Konstante ist, sagen wir Null.

Es scheint, dass der Informationsgehalt geringer ist.

Ich habe ein wenig über die Helmholtz-Zerlegung gelesen, und es scheint, dass die Kräuselung und Divergenz eines Vektorfelds (in diesem Fall E) das Vektorfeld vollständig bestimmen, vorausgesetzt, dass der Glätte und dem Zerfall des Felds bestimmte Einschränkungen auferlegt werden bei unendlich. Mit anderen Worten, es scheint, dass die Maxwell-Gleichungen (im Zusammenhang mit der Elektrostatik) tatsächlich einen geringeren Informationsgehalt haben als das Coulomb-Gesetz.

Die Maxwell-Gleichungen (zusammen mit dem Lorentz-Kraftgesetz) spezifizieren vollständig die gesamte klassische Elektrodynamik.
Wenn dem so ist, warum erfordert dann (zum Beispiel) eine Ableitung des Coulombschen Gesetzes aus diesen Gleichungen anscheinend die Annahme einer sphärischen Symmetrie?
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/44418/2451 und Links darin.

Antworten (1)

Mathematisch gesehen ist es wahr, dass Maxwells Gleichungen allein nicht die ganze Geschichte sind; Sie sind eine Menge von PDEs, für die man Randbedingungen separat spezifizieren muss, wenn man sie lösen will. Randbedingungen können aus physikalischer Sicht in einem gegebenen Szenario gut begründet werden, aber sie folgen nicht aus den Gleichungen selbst.

Was die Poisson-Gleichung gegenüber dem Coulomb-Gesetz betrifft, so ist keine sphärische Symmetrie erforderlich. Beginnen Sie mit der Poisson-Gleichung und setzen Sie die Ladungsdichte auf die einer Punktladung, nämlich

ρ ( X ) = Q δ ( X − X 0 ) .
Verwenden Sie als Nächstes die verschwindende Kräuselung des elektrischen Felds (die in Abwesenheit explizit zeitlich veränderlicher Magnetfelder funktioniert) zum Schreiben E = − ∇ Φ und setzen Sie dies in die Poisson-Gleichung ein, um zu erhalten
∇ 2 Φ = − Q ϵ 0 δ ( X − X 0 )
Mit anderen Worten, wir wollen bestimmen Φ das ist eine Greensche Funktion für die Laplace-Gleichung. Die allgemeine Lösung ist
Φ = 1 4 π ϵ 0 Q | X − X 0 | + F ( X )
Wo F eine harmonische Funktion ist, nämlich eine, die die Laplace-Gleichung erfüllt. Rufen wir dann die Randbedingung auf, dass das Potential im Unendlichen verschwindet, dann erzwingt diese Kraft F identisch Null sein, und wir erhalten
Φ = 1 4 π ϵ 0 Q | X − X 0 |
was nach Aufnahme des Gradienten das elektrische Feld einer Punktladung ergibt, was im Wesentlichen der Inhalt des Coulombschen Gesetzes ist.

Wie geht das genau weiter, wenn ich fragen darf?
Siehe den von Qmechanic bereitgestellten Link.
Dieses Argument beruht auf der Annahme, die ich, vielleicht irreführend, als „Kugelsymmetrie“ bezeichnet habe. Man muss behaupten, dass das elektrische Feld radial ist, um das Coulombsche Gesetz zu erreichen. Was ich versuche zu ermitteln, ist: ist dies notwendig? Können wir nicht vielleicht die Locke verwenden oder uns auf den Eindeutigkeitssatz berufen, anstatt dies als zusätzliches Postulat zu nehmen?
@ gj255 Nach der Poisson-Gleichung sind die rechten linken Seiten der Gleichungen, die ich aufgeschrieben habe, gleich, also sind auch die rechten Seiten gleich. Es wird keine Annahme verwendet, dass das elektrische Feld radial ist.
Ja, aber die Gleichheit der rechten Seiten ist kein Coulombsches Gesetz. Es bezieht den Fluss durch eine Oberfläche auf die eingeschlossene Ladung. Der Ausdruck E = q/4pi r^2 folgt nicht unmittelbar (glaube ich?).
@ gj255 Oh Gott, es tut mir sehr leid; Ich habe "Coulomb's Law" als "Gauß's Law" gelesen; Bleiben Sie dran für eine Bearbeitung.
Danke Josh, ich denke, das macht sehr viel Sinn für mich. Letztendlich gibt es in Maxwells Gleichungen nichts, was das Vorhandensein eines konstanten, einheitlichen E-Feldes in einer bestimmten Richtung überall im Universum verbietet, zusätzlich zu allen elektrischen Feldern aufgrund aller Ladungen. Dies ist nur von BCs verboten. Eine Frage: Sind Sie sicher, dass wir das Potenzial brauchen, um schnell zu verschwinden ? Wenn wir nur verlangen, dass es verschwindet, dann gibt es, da F = 0 eine gültige Lösung gibt, nach dem (Dirichlet-) Eindeutigkeitssatz die Lösung. Ja Nein?
@ gj255 Ich stimme zu. Insbesondere bei der Randbedingung gebe ich Ihnen recht; einfaches Verschwinden im Unendlichen ist ausreichend. Ich war faul und habe "ausreichend schnell" gesetzt, nur um mein Du-weißt-schon-was zu decken.
Informationsgehalt der elektrostatischen Maxwell-Gleichungen vs. Coulomb's Law vs. Poisson's Equation
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v