Reichen die 8 Maxwell-Gleichungen aus, um die Formel für das elektromagnetische Feld abzuleiten, das von einer stationären Punktladung erzeugt wird, was dem Gesetz von Coulomb entspricht?
Wenn die Bedingungen benötigt werden, was sind das für Bedingungen für die oben beschriebene Situation (Bereich der stationären Punktladung)?
Die kurze Antwort lautet ja, und tatsächlich benötigen Sie nur eine einzige Maxwell-Gleichung, das Gaußsche Gesetz, zusammen mit der Lorentz-Kraft, um das Coulombsche Gesetz zu erhalten.
Genauer gesagt benötigen Sie das Gaußsche Gesetz in seiner integralen Form, die aufgrund des Satzes von Gauß der Differentialform für Felder mit gutem Verhalten entspricht . Sie nutzen also das Gesetz
Um das Coulombsche Gesetz abzuleiten, betrachten Sie das elektrische Feld eines einzelnen Punktteilchens, mit nichts anderem im Universum. Aufgrund der Isotropie (die als zusätzliches Postulat hinzugefügt werden muss) ist das elektrische Feld bei einer Kugel vom Radius auf die Ladung zentriert, muss radial und überall gleich groß sein. Das heißt, das Integral ist trivial und das elektrische Feld muss es sein
Gekoppelt mit dem Lorentzschen Kraftgesetz bei Nullgeschwindigkeit für das Testteilchen (da das Coulombsche Gesetz nur in der Elektrostatik gilt) ergibt dies das Coulombsche Gesetz.
Es ist nicht offensichtlich, dass diese hochsymmetrische Situation die allgemeine elektrostatische Kraft für mehrere Teilchen liefern kann. Dies ergibt sich aus dem Überlagerungsprinzip, das den Kern der klassischen Elektrodynamik bildet und sich aus der Linearität der Maxwell-Gleichungen ergibt. Dies gibt Ihnen das Feld für eine einzelne Quelle; Fügen Sie die Felder für alle einzelnen Quellen hinzu und Sie erhalten das Feld für die Sammlung von Quellen.
Die genaue Herleitung geht wie folgt. Sie gehen vom Gauß'schen Gesetz aus und integrieren auf beiden Seiten über etwas Band V:
Jetzt verwenden Sie das Lorentz-Kraft-Gesetz (wobei ):
Wenn Sie nach dem Gesetz von Columb für die elektrischen Felder fragen , ja , was Sie in den Antworten anderer sehen können.
Wenn Sie nach dem Gesetz von Columb für die elektrische Kraft fragen ,
Maxwell-Gleichungen sagen Ihnen NICHT, wie die Kraft auf die Ladungen wirkt oder Strömungen .
Einfach gesagt, um klassisches E&M VOLLSTÄNDIG zu verstehen (dh man kann die Physik aus einem Anfangswertproblem bestimmen, um alle seine Konsequenzen zu bestimmen - die Physik dreht sich alles darum, die Zukunft zu bestimmen/vorherzusagen), braucht man BEIDES:
(1) Maxwellsche Gleichungen
(2) Lorentz-Kraftgesetz (Newtonsche Mechanik, E&M-Äquivalenz der Newtonschen Gravitationskraft.)
Pointe I: (1) und (2) sind absolut unterschiedliche Dinge.
Lagrange- und Variationsprinzip EOM-Sichtweise
Wenn Sie jedoch von einem Lagrange-Standpunkt ausgehen und die Aktion aufschreiben:
Maxwell-Gleichungen: EOM in Bezug auf variierendes 1-Form-Eichfeld
Durch Variieren erhält man Maxwell-Gleichungen :
Wie sieht es mit dem Lorentzkraftgesetz aus? Sie können die räumliche Koordinate variieren , und Sie müssen angeben, welches massive Teilchen mit Masse die Kraft erleben , welches ist durch Newtonsche Mechanik. Um ein massives Teilchen in der Lagrange/Aktion anzugeben, müssen Sie nur seine kinetische Energie hinzufügen .
Lorentzkraftgesetz: EOM bezüglich variierender Raumzeitkoordinaten
Sie werden das Lorentz-Kraftgesetz ableiten
Pointe II: Die Aktions- und Variationsprinzipien sind sehr leistungsfähig, um (1) die Maxwell-Gleichungen und (2) das Lorentz-Kraftgesetz im selben Rahmen zu vereinen.
Angesichts des Gauß-Gesetzes UND der Lorentz-Kraft ist es möglich, das Coulomb-Gesetz abzuleiten, wie es bereits beantwortet wurde. Ich denke also, die Frage ist, ob es möglich ist, es NUR mit den vier Maxwell-Gleichungen (und nicht mit der Lorentz-Kraft) abzuleiten. Die Antwort ist immer noch ja, da die Lorentz-Kraft dem Faraday-Gesetz entspricht und daraus abgeleitet werden kann. Die Beziehung zwischen Faraday-Gesetz und Lorentz-Kraft ist in 3D nicht trivial, da das Faraday-Paradoxon auftritt (siehe Wiki). Wenn andererseits der Elektromagnetismus in der kovarianten Formulierung ausgedrückt wird, existiert kein solches Paradoxon.
QMechaniker
achatrch
Daniel Blay
Daniel
achatrch
achatrch
Daniel