Repräsentiert die 1+31+3\bf{1+3} Darstellung von SU(2)SU(2)SU(2) auch SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU( 2)\times SU(2)?

Ihr Gruppentheorie-Text hat Sie wahrscheinlich verraten, wenn er nicht viel Zeit damit verbracht hätte, die beiden Fälle gegenüberzustellen. Eine möglicherweise verwandte Frage ist 254461 . Die Menschen verwenden eine lockere Sprache und Symbole, die die Verwirrung noch verstärken. Abstraktes Sprechen ohne explizite praktische Formeln entscheidet (die Verwirrung)!

Lassen Sie mich bei Ihren 4-dimensionalen Matrizen und Vektoren bleiben, alles Tensorprodukte von 2x2-Matrizen und 2-Vektoren in beiden Fällen.

• Eine Tensorproduktgruppe (kartesisches Produkt) wie z$SU(2)\times SU(2)$hat Gruppenelemente des Typs$\exp (i\theta^a \sigma_a) \times \exp (i\phi^b \tau_b)$, wo ich σ s und τ s für Pauli-Matrizen verwende, die auf den linken bzw. rechten Raum wirken – sie sind Äpfel und Orangen, stellen Sie sie sich als Spin-Rotationen und Isospin-Rotationen vor. Sie sind nebeneinander. Wichtig ist, dass ihre Rotationswinkel unterschiedlich und hoffnungslos unabhängig sind, θ für Raum/Spin-Rotationen und φ für Isospin-Rotationen. Sie könnten sie zu einem 4-dim-Raum kombinieren, auf den 4 × 4-Matrizen einwirken, ohne absolut jede Bedeutung. Entscheidend ist, dass Sie eine von vielen Möglichkeiten für Ihre Gruppe ausgewählt haben. Die Isospin-Gruppe könnte also durch eine andere Flavour-Gruppe ersetzt worden sein, sagen wir SU(3).$SU(2)\times SU(3)$und Sie hätten Gell-Mann λ s anstelle von τ s und Ihr φ s wäre jetzt 8.

• Dies unterscheidet sich stark von einem Kronecker-Produkt zweier Darstellungen von SU(2), also derselben Gruppe, die hier als zwei Dublett-Darstellungen ausgewählt wurde: Hinzufügen von zwei Spin 1/2 s. Das Gruppenelement kann auf zwei verschiedene Räume wirken, links und rechts, aber mit den gleichen Winkeln , wie Synchronschwimmen,$~~~\exp (i\theta^a \sigma_a) \otimes \exp (i\theta^a \tau_a)$. Sie hätten für links und rechts unterschiedlich große Räume wählen können, aber die Generatoren im Exponenten sollten immer Darstellungsmatrizen derselben SU(2) in der Darstellung Ihrer Wahl sein, mit demselben Winkel. Um dies zu sehen, betrachten Sie das Nebenprodukt in Mathematik, nämlich

  $$\Delta(J^a) = \sigma^a \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \tau^a .$$ Es ist leicht zu erkennen, dass dieses Koprodukt derselben Lia-Algebra gehorcht, da entweder die Darstellung links oder rechts, hier von Ihnen „aus Versehen“ als beide Pauli-Matrizen gewählt. Also dann$\Delta(J^a)$ist eine feine Darstellung von SU(2). Sättige es mit drei Winkeln und potenziere es, um das Gruppenelement zu erhalten, $$\exp (i \theta^a \Delta(J^a) )= \exp (i \theta^a( \sigma^a \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \tau^a))= \exp (i \theta^a \sigma^a)\otimes \exp (i \theta^a \tau^a),$$ wobei die linken und rechten Terme im Exponenten untereinander pendeln und so die Exponentialfaktoren zu zwei Exponentialen werden, die auf dem linken bzw. rechten Raum gemeinsam wirken . Jetzt stellt sich die 4-dim-Wiedergabe heraus$\Delta(J^a)$s ist reduzierbar. Das heißt, wenn wir es als 4×4-Matrix aufschreiben würden, wäre es reduzierbar, dh eine geeignete Ähnlichkeitstransformation (Clebsch-Gordan) würde es in eine Blockmatrix transformieren; hier irgendwie albern, da es einen 3 × 3-Block und einen 1 × 1-Block mit null Einträgen hätte, da die Spin-Matrizen für die Singulett-Wiederholung 0 sind. Der 3×3-Block wären nur die Spin-Eins-Spin-Matrizen,$j^a$. Die Gruppenaktion auf diesem neu angeordneten 3+1-Platz wäre$~~\exp(i\theta^a j^a)\oplus 1$, da exp( i θ 0)=1, ganz ausnahmsweise. Dies würde natürlich für alle Kronecker-Produkte beliebiger Repräsentanten passieren, nicht nur für Ihre gewählten Beispiel-Pauli-Matrizen. Hier macht es also durchaus Sinn, den Tensorproduktraum neu zu ordnen, da dies die Reduktion der Wiederholungen erleichtert.

• Fazit: Schauen Sie sich die Winkel an --- die Transformationsparameter: Wenn Sie Gruppen kombinieren, hat jede Gruppe unterschiedliche, selbst wenn die beiden Gruppen zusammenfallen. Jetzt sind Sie bereit, sich den Repräsentanten der Lorentz-Gruppe zu stellen: verschiedene Gruppen, viele Blickwinkel! Wenn Sie stattdessen Wiederholungen kombinieren, sind die Winkel gleich, so viele wie die Dimensionalität der Gruppe/Lie-Algebra, aber nie mehr.

Ich vermute, was dir fehlt, ist Folgendes:

eine Vertretung gegeben$\rho(g)$von$g\in$SU(2) wirkt auf einen Vektorraum$V$. Wir definieren die Darstellung$\rho_\otimes$von SU(2) ( nicht von SU(2)$\times$SU(2) ) ein$V\otimes V$wie