Rotverschiebung aufgrund eines statischen Gravitationsfeldes und der Energieerhaltung [Duplikat]

In einer statischen Raumzeit gibt es (per Definition) ein zeitähnliches Killing-Vektorfeld$\xi^\mu$, was bedeutet, dass Geodäten mit vier Geschwindigkeiten$u^\nu$eine Erhaltungsgröße haben$\epsilon = -g_{\mu\nu}\xi^\mu u^\nu$. In der Schwarzschild-Raumzeit ist dies beispielsweise

$$\epsilon = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda}\text{,}$$ Wo $\lambda$ein beliebiger affiner Parameter für die Geodäte ist. Dies ist die korrekte Verallgemeinerung der Erhaltung der Bahnenergie im allgemein-relativistischen Kontext.

Für ein massives Teilchen im Schwarzschild-Raum, für das wir nehmen können$\lambda$die richtige Zeit sein$\tau$, führt dies zu einem direkten Analogon der Newtonschen Orbitalenergie, korrigiert durch ein Extra$r^{-3}$Begriff, bis zu dem Verständnis, dass die Schwarzschild$r$Und$\tau$haben eine etwas andere Bedeutung als in der Newtonschen Theorie:

$$\text{const} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{l^2}{r^2} - \frac{GM}{r} - \frac{GMl^2}{c^2r^3}\text{,}$$ Wo $l = r^2(\sin^2\theta)(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}\tau)$ist der spezifische Drehimpuls, eine weitere Erhaltungsgröße für die Schwarzschild-Raumzeit. Die ersten beiden Terme würden die Newtonsche kinetische Energie pro Masse darstellen, zerlegt in Radial- und Winkelkomponenten.

Für ein masseloses Teilchen ist dies etwas anders:

$$\epsilon^2 = \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 + \frac{l^2}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\text{.}$$

In GR gibt es keine Gravitationsenergie, also hat das Photon "Lichtenergie" nicht mit potentieller Energie getauscht.

Aber in statischen Raumzeiten können wir immer eine konservierte Gesamtbahnenergie für die Geodäten definieren.

---

Ich habe gerade die Ableitung Ihrer Formeln in Carrolls GR-Buch gelesen. Sie erhalten Erhaltungsgrößen, aber nicht wirklich einen genauen Energiebegriff. Sie erhalten so etwas wie Energie pro Masseneinheit. Dies in Energie umzuwandeln scheint kritisch zu sein, da die Photonenmasse null ist (und wir betrachten Photonen in diesem Beispiel). Mathematisch gesehen haben wir eine Erhaltungsgröße, aber ich verstehe nicht, wie wir feststellen können, dass dies wirklich die Energie ist und nicht etwas anderes.

Eine durch Zeittranslationsinvarianz erzeugte Erhaltungsgröße ist die Art und Weise, wie Energieerhaltung in der modernen Physik funktioniert; das ist die Moral von Noethers Theorem und die geometrische Bedeutung, ein zeitähnliches Killing-Vektorfeld zu haben.

Das Vorhandensein einer spezifischen Energie (dh pro Masse) ist genau so, wie das Gravitationspotential selbst in der Newtonschen Theorie funktioniert, und selbst für ein Photon kann es als relativ zur Energie im Unendlichen interpretiert oder an einen Maßstab angepasst werden, der irgendwo entlang der Umlaufbahn festgelegt ist, z diese Angelegenheit. Operativ ist es genau die spezifische Energie, die von einer Familie statischer Beobachter (die sich mit dem Killing-Vektorfeld bewegen) gemessen wird, da ein inneres Produkt mit vier Geschwindigkeiten den relativen Lorentz-Faktor oder äquivalent die Zeitkomponente von eins in a ergibt lokaler Trägheitsrahmen, der sich mit dem anderen mitbewegt.

Ich schicke ein blaues Photon zu meinem Freund, der sich x Meter über mir in einem Turm befindet (wir sind beide relativ zueinander in Ruhe). Er misst das Photon und findet heraus, dass es rot ist. Wir schlussfolgern beide, dass eine gravitative Rotverschiebung aufgetreten ist. Doch wo ist die Energie geblieben?

Es ging nirgendwo hin. Das aufsteigende Photon verlor keine Energie. Es gibt keinen magischen mysteriösen Mechanismus, durch den ein E=hf-Photon "müde" wird und Energie verliert. Ihr Freund hat gemessen, dass das Photon eine niedrigere Frequenz hat als Sie, weil seine Uhren schneller laufen als Ihre. Wegen der Gravitationszeitdilatation. Es ist wichtig zu beachten, dass es bei der Gravitationsenergie nicht darum geht, dass ein Photon Energie verliert, wenn es aufsteigt. Es geht darum, dass das Photon mit einer niedrigeren Frequenz emittiert wird. Sehen Sie, wie Einstein das hier sagt :

"Ein Atom absorbiert oder emittiert Licht mit einer Frequenz, die vom Potential des Gravitationsfeldes abhängt, in dem es sich befindet".

In GR gibt es keine Gravitationsenergie, also hat das Photon "Lichtenergie" nicht mit potentieller Energie getauscht.

Richtig. Ein Photon ist "alle kinetische Energie". Es gibt keine Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie. Außerdem wird das aufsteigende Photon nicht langsamer. Stattdessen beschleunigt es . Sehen Sie hier, wie Einstein über die Lichtgeschwindigkeit spricht, die sich mit der Position ändert :

„Wie eine einfache geometrische Betrachtung zeigt, tritt die Krümmung von Lichtstrahlen nur in Räumen auf, in denen die Lichtgeschwindigkeit räumlich variabel ist“ .

Ich habe mehrere Threads dazu gefunden, aber oft betrachteten sie dieses Thema aus kosmologischer Sicht, wo die Metrik von der Zeit abhängt und Noether daher nicht arbeitet, um für eine Energieerhaltung zu argumentieren. Argumente ohne Kosmologie verwendeten die Erklärung über potentielle Energie (was meines Wissens in GR nicht vorkommt). Da die Metrik also immer noch zeitunabhängig ist, sollte die Energie nach Noether erhalten bleiben. Was ist los?

Energie wird eingespart. Wenn Sie ein 511-keV-Photon in ein Schwarzes Loch schicken, erhöht sich die Masse des Schwarzen Lochs um 511 keV/c². Das absteigende Photon gewann keine Energie. Das aufsteigende Photon verliert es nicht. Jeder, der Ihnen etwas anderes sagt, liegt falsch. Die Aktualisierung von Alfred Centauri im angeblichen Duplikat ist korrekt.

Dies könnte auch als Grund angesehen werden, warum man Photonen nicht ohne Energieverlust in Materie (und umgekehrt) verwandeln kann.

Wenn Sie Photonen in Materie umwandeln und umgekehrt durch Paarbildung und Vernichtung, bleibt Energie erhalten. Ich kenne keine Situation, in der nicht Energie gespart wird. Wenn es jemand anders tut, würde ich mich freuen, davon zu hören.