Saitenverhalten in Elektronenorbitalen?

Es scheint, dass wir überprüfen müssen, wie Atome in drei Arten von Quantentheorie beschrieben werden: nichtrelativistische Quantenmechanik, relativistische Quantenfeldtheorie und Stringtheorie.

Dies sind alles Quantentheorien, also verwenden sie alle eine Art Quantenrahmen, in dem es "Observables" gibt, die mögliche Werte annehmen können, mit Wahrscheinlichkeiten, die von Wellenfunktionen, Quantenzuständen, Pfadintegralen usw. abgeleitet werden.

Es ist kein Geheimnis, dass es viel Angst und Streit darüber gibt, wie man Quantenobjekte richtig denkt. Die neutralste, aber genaueste Art, darüber zu sprechen, wäre, sich auf Aussagen über die Observablen zu beschränken – was sie sind, was ihre möglichen Werte sind und wie die Wahrscheinlichkeiten variieren.

Aber wenn ich ein Wortbild anbieten müsste, würde ich ein Quantenobjekt so beschreiben, dass es der Unschärferelation unterliegt. Dieses Konzept ist am bekanntesten, wenn es auf die Position und den Impuls eines Punktteilchens angewendet wird, aber es gilt auch für andere konjugierte Variablen, wie die Position und Geschwindigkeit eines Punktes auf einer sich bewegenden Saite oder die Amplitude und Änderungsrate eines Punktes in ein Feld.

Ich sage nicht, dass dies die ultimative Art ist, die Realität zu sehen, sondern nur, dass es eine genaue qualitative Art ist, über die Bedeutung der Quantenmechanik nachzudenken. (Ich gehe davon aus, dass Sie die Grundlagen der Quantenmechanik verstehen, wie die Born-Regel und wie Operatoren Observablen darstellen.) Wir können versuchen, über andere Konzepte zu sprechen, aber wenn Sie zu weit darüber hinausgehen, gehen Sie über die Quantenmechanik hinaus se, zu einigen anderen Ideen.

Elektronenorbitale sind ein Konzept aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik von Elektronen in Atomen und Molekülen. Sie sind Elemente einer (möglicherweise vielteiligen) Wellenfunktion, die einer Schrödinger-Gleichung gehorcht. Diese Wellenfunktion beschreibt ein oder mehrere Elektronen, die mein qualitatives Wortbild als Punktteilchen beschreibt, die einer Unschärferelation unterliegen. Das ist es, was ein Orbital tut, es gibt Ihnen Wahrscheinlichkeiten bezüglich der beobachtbaren Eigenschaften eines Punktteilchens.

In der Quantenfeldtheorie haben wir jetzt Teilchenobservable (wie die Teilchenzahl) und Feldobservable (wie die Feldintensität). Nach meiner qualitativen Formel sind die fundamentalen Objekte hier Felder, Bosonenfelder und Fermionenfelder. Wendet man jedoch die Unschärferelation auf ein Feld an, erhält man Energiequanten, die sich wie die Quantenteilchen der nichtrelativistischen Quantenmechanik verhalten.

Wenn Sie die Energieniveaus eines harmonischen Quantenoszillators verstehen können, verstehen Sie vielleicht, wie dies für Bosonenfelder funktioniert. Man betrachtet die Fourier-Moden des Bosonenfeldes (wie die ebenen Wellen der klassischen Maxwell-Gleichungen) als unabhängige harmonische Oszillatoren. Wenden Sie das Unbestimmtheitsprinzip auf jeden an, und Sie werden feststellen, dass jeder Feldmodus null, eins, zwei ... "Energiequanten" enthalten kann, die sich wie Quantenteilchen in einem reinen Impulszustand verhalten. Durch Überlagerung dieser kann man dann eine beliebige Sammlung von lokalisierten Wellenfunktionen aufbauen und so einen Zustand aus der n-Teilchen-Quantenmechanik imitieren. Theoretisch kann jedoch alles als Überlagerung von Zuständen des Feldes interpretiert werden.

Fermionenfelder werden eher mühsam zu vermitteln sein. Jeder bosonische Oszillator hat unendlich viele Energieniveaus. Aber ein „fermionischer Oszillator“ muss nur zwei haben, um das Ausschlussprinzip umzusetzen. Wenn wir uns das Fermionenfeld als ein Feld vorstellen, also als eine Einheit, die an jedem Punkt im Raum einen Wert hat, müssen wir uns seine Werte als "Grassmann-Zahlen" vorstellen, eine besondere Art von "Zahl" mit ungewöhnlichen algebraischen Eigenschaften . Dieses Konzept wird in fermionischen Pfadintegralen verwendet. Wenn Sie also den Begriff eines Grassmann-wertigen Feldes schlucken können, dann können wir das qualitative Wortbild erweitern und sagen, dass auch Fermionen Quantenteilchen sind, die aus einem Feld entstehen, das der Unschärferelation unterliegt.

Aber viele Physiker würden sagen, dass Grassmann-Zahlen keine Zahlen sind, sondern nur formale Objekte, und sie würden sich nur auf die Observablen und die algebraischen Eigenschaften der relevanten Operatoren wie ihre Kommutierungsbeziehungen konzentrieren. Für ihre physikalische Intuition müssen sie einen anderen Ansatz verwenden, wenn sie über Fermionen nachdenken.

Jetzt sprechen wir über Quantenelektrodynamik (QED). Wir haben ein Bosonenfeld (für Photonen) und Fermionenfelder (für das Elektron und vielleicht für die Nukleonen, wenn wir sie nicht klassisch behandeln). Hier taucht eine weitere Komplikation auf, nämlich dass gebundene Zustände wie Atome in einer relativistischen Quantenfeldtheorie wie QED nicht sehr gut behandelt werden. Wir haben nicht die Einfachheit des nichtrelativistischen Rahmens, in dem wir eine Wellenfunktion haben, die sich gemäß einer universellen Zeit entwickelt.

Stattdessen ist das grundlegende Objekt der relativistischen Quantenfeldtheorie die S-Matrix, die Streumatrix, die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen asymptotischen Zuständen beschreibt – die Wahrscheinlichkeit, von einem Zustand in der unendlichen Vergangenheit in einen anderen Zustand in der unendlichen Zukunft zu wechseln. Normalerweise stellt man sich einen Streuprozess vor, bei dem Teilchen weit voneinander entfernt beginnen, sich nähern und interagieren und sich dann die Produkte der Wechselwirkung wieder voneinander entfernen. Anstelle der Schrödinger-Gleichung ist die grundlegende Berechnungsmethode hier Heisenbergs Operatorbild oder Feynmans Summe über Geschichten.

Wie dem auch sei, da ich des Darstellens müde bin, werde ich nur noch ein paar Dinge sagen. Es ist ein wenig kompliziert, gebundene Zustände - wie Atome - im S-Matrix-Gerüst darzustellen. Da die Partikelanzahl variieren kann und es keine feste universelle Zeitkoordinate gibt, müssen sie irgendwie aus Feynman-Diagrammen oder anderen QFT-Konstrukten "gebaut" werden. Die grundlegende ist die Bethe-Salpeter-Gleichung und sie wurde auf sehr einfache Atome angewendet.

In Ihrer Frage sagen Sie, dass Orbitale "stehende Wellen in Feldern" sind, aber das stimmt nicht wirklich. Im nichtrelativistischen Bild ist das Orbital eine stehende Welle in einer Wellenfunktion , und eine Einzelteilchen-Wellenfunktion ist wie ein Feld, da sie an jedem Punkt im Raum einen Wert hat. Aber es ist kein Feld. Es ist eine "Wahrscheinlichkeits-Amplitudenwelle" und wahrscheinlich sowieso nur ein Teil einer verschränkten Vielkörper-Wellenfunktion.

In der Zwischenzeit, wenn wir zum eigentlichen Feldmodell der Orbitale kommen, wird es in der Quantenfeldtheorie eine komplizierte Überlagerung von Quantenfeldgeschichten sein , in der die Bosonenfeldquanten das Coulomb-Potential des Kerns annähern und die Fermionenfeldquanten sich annähern die Orbitale.

Und erst jetzt kommen wir zur Stringtheorie. Im Fall der Quantenfeldtheorie bieten Feynman-Diagramme einen Berechnungsrahmen, der wie eine Summe über Teilchengeschichten aussieht; Sie müssen sich nicht einmal um das Feldbild kümmern. (Abgesehen davon, dass Sie für "nicht störungsfreie" Phänomene das gesamte Gerüst der Felder benötigen.) Im Fall der Stringtheorie haben wir so etwas wie die Feynman-Diagramme, die topologischen Diagramme, die das Teilen und Verbinden von Strings zeigen; aber die grundlegende Theorie, analog zum Feldbild der Quantenfeldtheorie, ist noch ziemlich unklar. Es gibt eine Sache namens "Stringfeldtheorie", und sie hat ihren Nutzen, aber kaum jemand würde glauben, dass dies die grundlegende Formulierung der Stringtheorie ist.

Die Stringtheorie ist wie die Quantenfeldtheorie eine S-Matrix-Theorie. Und ich denke, das Verständnis von gebundenen Zuständen ist in der Stringtheorie noch primitiver als in der Quantenfeldtheorie, teilweise wegen der mathematischen Komplexität, teilweise wegen des Fehlens eines unabhängigen Raumzeithintergrunds, der die eigene Suche nach gebundenen Zuständen innerhalb der S- Matrix.

Während also Strings letztendlich wahrscheinlich nur eine Art Anregung einer grundlegenden Geometrie oder "Prägeometrie" sind, ist das klarste Bild, das wir von der Stringtheorie haben, ironischerweise immer noch das perturbative Bild, analog zu den Feynman-Diagrammen der Quantenfeldtheorie, das Bild in Worum es in der Theorie geht, sind schwingende, interagierende Saiten, Saiten, die sich teilen und verbinden können und die einer Unschärferelation unterliegen.

Das heißt zunächst einmal: Wenn Sie ein Elektronenorbital im Sinne der Stringtheorie verstehen wollen, sollten Sie es zuerst im Sinne eines Punktteilchens verstehen und sich dann einfach vorstellen, dass das Teilchen tatsächlich ein sehr winziger String ist. Das ist natürlich kaum eine Änderung.

Sie fragen speziell nach dem Spin. Lubos präsentiert eine Analyse für eine geschlossene bosonische Kette in Bezug auf die Wellen, die sich (sagen wir) im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn bewegen (normalerweise spricht man von Rechtsbewegern und Linksbewegern). So werden in der Tat die Quantenzustände eines Strings aufgebaut. Für den speziellen Fall von Fermionen, wie Elektronen, muss jedoch ein Grassmann-Feld an der Saite vorhanden sein, um einen halbzahligen Spin zu erhalten. Bei einer rein bosonischen Saite ist die einzige Eigenschaft, die ein Punkt auf der Saite hat, sein Positionsvektor (und sein Geschwindigkeitsvektor, wenn wir das noch berücksichtigen wollen). Die Ortsvektoren der Punkte auf der Saite verhalten sich wie bosonische Felder. Aber jeder Punkt auf einem Superstring hat auch einen Satz von Grassmann-Koordinaten, so dass er fermionische Zustände erzeugen kann.

Für ein echtes fermionisches Objekt ist Lubos' Analyse also nur ein Hinweis. Die fragliche Zeichenfolge wird räumlich erweitert, sodass ein Teil der Analyse übernommen wird. Aber die fermionischen Variablen auf der Saite müssen auch zur Berechnung des Drehimpulses beitragen, durch eine Art Grassmann-Integral, aber ich müsste auf ein Lehrbuch der Stringtheorie zurückgreifen, um die Details herauszufinden.

Und hier höre ich auf. Die Frage, wie die Stringtheorie Elektronenorbitale beschreiben würde, ist eigentlich von Interesse, aber ich glaube, die Schlüsselfragen sind ganz andere als die in Ihrer Frage, z. B. wie die Bethe-Salpeter-Gleichung an die Stringtheorie angepasst werden kann. (Ein weiteres interessantes, aber technisches Thema, das für mich interessant ist, ist, wie massive Dirac-Fermionen wie Elektronen, die durch Yukawa-Wechselwirkungen mit den Higgs erzeugt werden, aus den fadenförmigen Weyl-Fermionen aufgebaut werden. Aber man würde zuerst versuchen, die Bethe-Salpeter-Frage für a zu beantworten einfacher Fall.)

Wie gesagt, ich glaube, Sie verwechseln Wellenfunktionen und Felder. Letztendlich werden Teilchenwellenfunktionen aus Quantenfeldern erhalten, aber Sie scheinen sich Wellenfunktionen wie klassische Felder vorzustellen, weil Sie aus der Wellenfunktion eine Ladungsdichte berechnen können. Wissen Sie, in der Nähe eines Atomkerns kann es tatsächlich möglich sein, das Elektron-Fermion-Feld in Moden zu zerlegen, die den Orbitalen entsprechen. Es kann also vorkommen, dass ein besetztes Orbital eine "stehende Welle in einem Feld" ist . Aber es wäre eine Quantenanregung eines Grassmann-Wert-Feldes und keine stehende Welle in einem geladenen klassischen Feld.