Widerspricht die Elektronenorbitaltheorie der Heisenbergschen Unschärferelation?

Question

Widerspricht die Elektronenorbitaltheorie der Heisenbergschen Unschärferelation?

Atome
Physik
Orbitale
Elektronen
Quantenmechanik
Heisenberg-Unschärfe-Prinzip

seamos

Das quantenmechanische Modell der Atome wurde aus der Heisenbergschen Unschärferelation abgeleitet, die besagt, dass Ort und Impuls eines Teilchens nicht beliebig genau bestimmt werden können. Um die Verteilung von Elektronen in einem Atom zu verstehen, wird der Impuls eines Elektrons in der Unschärferelation in seine Energie umgerechnet. Das Prinzip wird zu "Wir können sowohl die Position eines Elektrons als auch seine Energie nicht mit beliebiger Genauigkeit bestimmen".

Die Idee, dass Elektronen in Orbitalen existieren, stammt von der Lösung der Schrödinger-Gleichung, die die Hauptquantenzahl, die Drehimpulsquantenzahl, die magnetische Quantenzahl und die Spinquantenzahl liefert. Für jedes Atom spezifiziert eine Kombination der ersten drei Schrödinger-Parameter ein eindeutiges Elektronenorbital. Auffällig ist, dass die Schrödinger-Gleichung die Unschärferelation dahingehend vereinfacht, dass wir nur noch über die Position eines Elektrons, nicht aber über seine Energie unsicher sind.

Jedes Elektronenorbital repräsentiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilungskarte von Elektronen, die darunter fallen. Theoretisch können wir ein Elektron, das unter ein bestimmtes Orbital fällt, an jeder Position innerhalb der von ihm angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungskarte finden. Aber das Problem ist, dass jedes Orbital einen festen Energiewert hat. Egal wo im Orbital wir das Elektron finden, seine Energie ändert sich nicht. Mit anderen Worten, wenn wir ein Atom betrachten und die Position und Energie eines seiner Elektronen bestimmen wollen, ordnen wir es einem Orbital zu. Der Widerspruch besteht darin, dass wir, sobald dem Elektron ein Orbital zugeordnet ist, seine Energie festlegen und die einzige unbestimmte Variable seine Position ist. Widerspricht also die Elektronenorbitaltheorie der Unschärferelation, bei der es zwei unbestimmte Variablen gibt?

Eine sehr knappe Version meiner Frage: Die Heisenbergsche Unschärferelation impliziert, dass wir Ort und Energie eines Elektrons nicht gleichzeitig bestimmen können. Aber wenn wir den Weltraum eines Atoms in Elektronenorbitale aufteilen, wie es die Elektronenorbitaltheorie tut, und jedes Elektron einem Orbital zuordnen, können wir am Ende die Energie jedes Elektrons bestimmen!

Philipp

It is noticeable that the Schrödinger equation simplifies the uncertainty principle to the extent that we are only uncertain about the position of an electron, but not its energy anymore.

Dies ist nicht ganz richtig. Genauer gesagt gibt es bestimmte Zustände , in denen sich das Elektron befinden kann, deren Energie genau bestimmt ist, deren Position es jedoch nicht ist. Ein allgemeiner Zustand für das Elektron im Wasserstoffatom muss keinen bestimmten Energiewert haben.

Philipp

Ich sehe übrigens das Problem nicht. Wenn die Unschärferelation zwischen zwei Operatoren existiert

A

$A$ Und

B

$B$ , das bedeutet es auch nicht

A

$A$ noch

B

$B$ kann ohne Unsicherheit gemessen werden. Es bedeutet nur, dass Sie einmal gemessen haben

A

$A$ , macht es keinen Sinn, vom Wert des Staates zu sprechen

B

$B$ und umgekehrt. Wenn sich das Elektron in Ihrem Fall in einem Zustand bestimmter Energie (einem "Orbital") befindet, macht es also keinen Sinn, davon zu sprechen, dass es "irgendwo" lokalisiert ist (dh es hat eine bestimmte Position). Aber das verstößt nicht gegen das Unschärfeprinzip. Tatsächlich ist es eine Folge davon! :)

meine2cts

Das ist eine unglückliche Formulierung: „Das quantenmechanische Modell der Atome wurde aus der Heisenbergschen Unschärferelation abgeleitet“, . Die elektronische Struktur von Atomen ist durch die Schrödinger-Gleichung gegeben.

Gert

@my2cts: in der Tat. Äußerst unglücklich.

GiorgioP

Ich denke, Sie sollten etwas von Ihrem Verständnis von QM revidieren. Das quantenmechanische Atommodell wurde NICHT aus der Heisenbergschen Unschärferelation (HUP) abgeleitet. HUP ist ein Theorem, das aus den allgemeinen Prinzipien der QM bewiesen werden kann. Aus diesen Prinzipien folgt auch die QM-Atombeschreibung.

GiorgioP

Wenn Sie außerdem zu Ihrer prägnanten Frage kommen: "... ordnen Sie jedem Elektron ein Orbital zu, können wir am Ende die Energie jedes Elektrons bestimmen!", Dies ist nicht nur eine Wiederholung der trivialen Beobachtung, dass, wenn wir ein Elektron haben in einem Energieeigenzustand ist seine Energie bestimmt.

ZeroTheHero

außerdem impliziert bestimmte Energie (Potenzial plus Kinetik) keinen bestimmten Impuls ...

Antworten (4)

Widerspricht die Elektronenorbitaltheorie der Heisenbergschen Unschärferelation?

It is noticeable that the Schrödinger equation simplifies the uncertainty principle to the extent that we are only uncertain about the position of an electron, but not its energy anymore.Dies ist nicht ganz richtig. Genauer gesagt gibt es bestimmte Zustände , in denen sich das Elektron befinden kann, deren Energie genau bestimmt ist, deren Position es jedoch nicht ist. Ein allgemeiner Zustand für das Elektron im Wasserstoffatom muss keinen bestimmten Energiewert haben.
Ich sehe übrigens das Problem nicht. Wenn die Unschärferelation zwischen zwei Operatoren existiert $A$ Und $B$ , das bedeutet es auch nicht $A$ noch $B$ kann ohne Unsicherheit gemessen werden. Es bedeutet nur, dass Sie einmal gemessen haben $A$ , macht es keinen Sinn, vom Wert des Staates zu sprechen $B$ und umgekehrt. Wenn sich das Elektron in Ihrem Fall in einem Zustand bestimmter Energie (einem "Orbital") befindet, macht es also keinen Sinn, davon zu sprechen, dass es "irgendwo" lokalisiert ist (dh es hat eine bestimmte Position). Aber das verstößt nicht gegen das Unschärfeprinzip. Tatsächlich ist es eine Folge davon! :)
Das ist eine unglückliche Formulierung: „Das quantenmechanische Modell der Atome wurde aus der Heisenbergschen Unschärferelation abgeleitet“, . Die elektronische Struktur von Atomen ist durch die Schrödinger-Gleichung gegeben.
Ich denke, Sie sollten etwas von Ihrem Verständnis von QM revidieren. Das quantenmechanische Atommodell wurde NICHT aus der Heisenbergschen Unschärferelation (HUP) abgeleitet. HUP ist ein Theorem, das aus den allgemeinen Prinzipien der QM bewiesen werden kann. Aus diesen Prinzipien folgt auch die QM-Atombeschreibung.
Wenn Sie außerdem zu Ihrer prägnanten Frage kommen: "... ordnen Sie jedem Elektron ein Orbital zu, können wir am Ende die Energie jedes Elektrons bestimmen!", Dies ist nicht nur eine Wiederholung der trivialen Beobachtung, dass, wenn wir ein Elektron haben in einem Energieeigenzustand ist seine Energie bestimmt.
außerdem impliziert bestimmte Energie (Potenzial plus Kinetik) keinen bestimmten Impuls ...

Superschnelle Qualle · Answer 1

Ein Orbital ist ein Energie- (und Drehimpuls-) Eigenzustand. Wenn es auf Positionsbasis ausgedrückt wird, nimmt es eine funktionale Form an, die sich auf die Wahrscheinlichkeitsdichte bezieht. Das bedeutet, wenn Sie die Energie angeben (messen), ist die Position nicht mehr genau definiert. Hier ist ein Diagramm der radialen Verteilung einiger Orbitale, wie sie durch die Schrödinger-Gleichung berechnet wurden.

Wie Sie sehen, führt die Angabe einer Position nicht zu einem bestimmten Orbital, da sich verschiedene Orbitale räumlich überlappen.

Die Unschärferelation gilt also weiterhin.

GiorgioP · Answer 2

Diese Frage legt eine Antwort nahe, die dazu beitragen kann, einige der naiven Folklore über Heisenbergs Unschärferelation (HUP) loszuwerden.

Vor allem die Frage

Widerspricht also die Elektronenorbitaltheorie der Unschärferelation, bei der es zwei unbestimmte Variablen gibt?

HUP sagt nicht, dass es immer zwei unbestimmte Variablen gibt (die Unsicherheiten der beiden nicht-kommutierenden Operatoren).

Erinnern wir uns, was HUP tatsächlich sagt.

Wenn wir zwei Operatoren haben $\hat A$ Und $\hat B$ , können wir ein Maß für die durchschnittliche Streuung ihrer Werte in einem Zustand definieren $\newcommand{\Ket}[1]{\left|#1\right>} \newcommand{\Bra}[1]{\left<#1\right|}$ $\Ket{P}$ um den Durchschnittswert $\langle A\rangle$ Und $\langle B\rangle$ als

σ_{A}^{2} = ⟨ P | {(\hat{A} - ⟨ A ⟩)}^{2} | P ⟩ σ_{B}^{2} = ⟨ P | {(\hat{B} - ⟨ B ⟩)}^{2} | P ⟩ .

$\sigma_A^2 = \Bra{P} \left( \hat A - \langle A\rangle \right)^2 \Ket{P} \\ \sigma_B^2 = \Bra{P} \left( \hat B - \langle B\rangle \right)^2 \Ket{P}.$ HUP ist die (nicht strenge) Ungleichung

σ_{A} σ_{B} \geq | \frac{1}{2 ich} ⟨ P | [\hat{A}, \hat{B}] | P ⟩ |

$\sigma_A \sigma_B \ge \left| \frac{1}{2i}\Bra{P} \left[ \hat A,\hat B \right] \Ket{P} \right|$ Wo

[\hat{A}, \hat{B}]

$\left[ \hat A,\hat B \right]$ ist der Kommutator

\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}

$\hat A \hat B - \hat B \hat A$ .

Wenn $\hat A$ Und $\hat B$ sind die Komponenten von Ort und Impuls entlang einer bestimmten Richtung, der Kommutator ist $i\hbar$ und die rechte Seite der Ungleichung ist gleich $\frac{\hbar}{2}$ unabhängig vom Staat $\Ket{P}$ .

Allerdings wann $\hat A$ Und $\hat B$ sind die Komponente der Position entlang einer gegebenen Richtung, und der Hamilton-Operator, der Wert auf der rechten Seite hängt vom Zustand ab. Wenn $\Ket{P}$ ein Energieeigenzustand ist, beides $\sigma_H$ und die rechte Seite sind Null. Daher ist es klar, dass in einem solchen Fall eine Größe einen wohldefinierten Wert ohne Widerspruch zu HUP hat.

Benutzer2419194 · Answer 3

Das ist eine gute Frage. Für ein klassisches System beziehen sich die kinetische Energie und der Impuls wie folgt

E = \frac{P^{2}}{2 M}

$E=\frac{p^2}{2m}$ Kennt man also die Energie genau, so kennt man auch die Größe des Impulses genau.

In der Quantenmechanik sind Energie und Impuls Operatoren, die nicht miteinander kommutieren, was bedeutet, dass ein Energie-Eigenzustand (zB das 1s-Orbital des Wasserstoffatoms) kein Impuls-Eigenzustand ist. Für Operatoren, die nicht pendeln, kann man nur sagen, dass die Mittelwerte den gleichen Regeln folgen wie in der klassischen Mechanik, also

E = \frac{⟨ P^{2} ⟩}{2 M}

$E=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}$ Aus diesem Grund kann die Energie gut definiert werden, der Impuls jedoch nicht.

Genau das passiert, wenn sich ein Elektron in einem Atomorbital befindet. Da wir davon ausgehen, dass sich das Elektron in einem Orbital befindet, bedeutet dies, dass es sich in einem Energie-Eigenzustand befindet, sodass die Energie wohldefiniert ist. Das bedeutet aber auch, dass es sich nicht in einem Impuls-Eigenzustand befindet, also gibt es eine gewisse Impulsunsicherheit. Es gibt auch eindeutig eine gewisse Positionsunsicherheit aufgrund der Tatsache, dass jedes Orbital eine gewisse räumliche Ausdehnung hat. Die Multiplikation dieser beiden Unsicherheiten ergibt eine Übereinstimmung mit dem Unsicherheitsprinzip,

σ_{X} σ_{P} \geq \frac{ℏ}{2}

$\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}$

Jason Spalding · Answer 4

Betrachten Sie Bohrs Atommodell, das feste Bahnen und Bahnen für das Elektron annimmt. Bohrs Modell des Stickstoffatoms lautet: Das Problem ist, Elektronen bewegen sich NICHT auf festen Bahnen, und sie bewegen sich nicht auf festen Bahnen. Gleichzeitig bekannte Orbits und Trajektorien verletzen die Heisenbergsche Unschärferelation.

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GiorgioP

Benutzer2419194

Jason Spalding

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