Schmidt-Basis: Verschränkung

Dies liegt daran, dass die Schmidt-Basen von dem Vektor abhängen, den Sie zerlegen möchten: gegebener Vektor$v\in\mathcal{H}$Sie können Basen finden$\{u_i\}$für$\mathcal{H}_A$Und$\{v_j\}$für$\mathcal{H}_B$so dass

$$v=\sum_k \lambda_k u_k\otimes v_k.\tag{1}$$ Die Basen $\{u_i\}$Und $\{v_j\}$darauf ankommen $v$auf nichtlineare Weise (warum? Sie sind ungleich Null für $v=0$) und Sie können nicht erwarten, dass lineare algebraische Argumente für Dimensionen so gelten wie zuvor. Der Weg, dies zu formulieren, ist, dass die Schmidt-Basen von $v$zu einer Basis kombinieren $\{u_i\otimes v_j\}$für $\mathcal{H}$so dass die Koeffizienten außerhalb der Diagonale von $v$im Ausbau $$v=\sum_{i,j} \lambda_{ij} \,u_i\otimes v_j\tag{2}$$ verschwinden. (Sie können immer noch alle Vektoren in ausdrücken $\mathcal{H}$in Form von Gl. (2), natürlich, und die Basis hat Größe $\text{dim}(\mathcal{H}_A)\times\text{dim}(\mathcal{H}_B)$, wie es sein sollte, aber nur ein Unterraum der Dimension $\text{min}\{\text{dim}(\mathcal{H}_A),\text{dim}(\mathcal{H}_B)\}$kann wie in Gl. geschrieben werden. (1). So passen die Maße zusammen.)

Dies folgt aus der Singular Value Decomposition (go wikipedia it).

Angesichts eines beliebigen Zustands$\psi \in H = H_A \otimes H_B$, man kann es schreiben als

$$\begin{align} \psi = \sum_{nm} W_{nm} \psi_n^A \psi_m^B, \end{align}$$ Wo $\{ \psi_n^\xi \}$bilden eine Basis für den Unterraum $H_\xi$. Nehmen wir an, dass die Abmessungen von $H_A, H_B$sind endlich (ansonsten ist Ihre Behauptung trivial wahr). Allgemein natürlich $\dim(H_A) \neq \dim(H_B)$. Dann der Index $n$in der Summe läuft aus $1$Zu $\dim(H_A)$Und $m$aus $1$Zu $\dim(H_B)$.

Also die Koeffizientenmatrix$W_{nm}$ist ein$\dim(H_A) \times \dim(H_B)$rechteckige Matrix im Allgemeinen. Die Singularwertzerlegung besagt, dass es geschrieben werden kann als (in Matrixform),

$$\begin{align} W = U\Sigma V^\dagger, \end{align}$$ Wo $U$ist ein $\dim(H_A)$einheitliche Matrix und $V$ist ein $\dim(H_B)$einheitliche Matrix und $\Sigma$ist eine rechteckige, diagonale Matrix von Dimensionen $\dim(H_A) \times \dim(H_B)$.

Seit$\Sigma$diagonal ist, und im Allgemeinen rechteckig ist, gibt es nur$\min(\dim(H_A), \dim(H_B))$solche singulären Werte.

Der$U$Matrix ist eine Drehung der$\psi_n^A$Grundlage, während$V^\dagger$ist eine Drehung der$\psi_n^B$Basis. Der Originalzustand wird also in der Schmidt-Form geschrieben

$$\begin{align} \psi = \sum_k^{\min(\dim(H_A),\dim(H_B))} \sigma_k \phi_k^A \phi_k^B, \end{align}$$ Wo $\sigma_k$sind die $\min(\dim(H_A),\dim(H_B))$singuläre Werte.

Also verlangt der Staat nur$\min(\dim(H_A),\dim(H_B))$Basisvektoren (aus entweder$A$oder$B$) um es zu beschreiben.