Schroeder's Thermal Physics: Multiplizität eines einzigen idealen Gasmoleküls

Wir müssen die Anzahl linear unabhängiger Wellenfunktionen zählen, die einem Teilchen zur Verfügung stehen. Mit der Einschränkung, dass die Region endlich und ihre Energie begrenzt ist, ist diese Anzahl von Zuständen immer eine endliche Zahl.

Trotzdem gibt es viele verschiedene Sätze linear unabhängiger Wellenfunktionen, mit denen wir arbeiten können. Wählen Sie also diejenigen mit bestimmten Energiewerten.

Die kinetische Energie hängt vom Quadrat des Impulses ab. Die Wellenfunktionen müssen die Randbedingungen erfüllen, dh sie müssen in einem 1-dimensionalen Kasten an beiden Enden gegen Null gehen. Es sind also nur bestimmte Wellenlängen erlaubt, mit diskreten Werten 2L, 2L/2, 2L/3....

$E_n$=$h^2$$n^2$/8m$L^2$wobei n eine beliebige positive ganze Zahl ist.

Jede andere Wellenfunktion kann als lineare Kombination bestimmter Energiewellenfunktionen geschrieben werden. Diese definitiven Energiewellenfunktionen sind linear unabhängig.

Das Zählen der Anzahl bestimmter Energiewellenfunktionen ist also eine Möglichkeit, "alle" Zustände in der Box zu zählen.

Innerhalb einer 3D-Box multiplizieren wir 3 1-dimensionale definierte Energie-Wellenfunktionen, um eine 3-dimensionale definierte Energie-Wellenfunktion zu erzeugen.

$\psi$(x, y, z) =$\psi_x (x)$$\psi_y (y)$$\psi_z$(z)

Diese Produkte sind nicht alle definitive Energiewellenfunktionen, aber die anderen können als lineare Kombinationen davon geschrieben werden.

Wenn die Box ein Würfel ist, haben wir

E =$h^2$/8m$L^2$$[n^2$$_x$+$n^2$$_y$+$n^2$$_z$]

Die meisten Energieniveaus sind entartet, was mehreren linear unabhängigen Zuständen entspricht, die separat gezählt werden müssen. Die Anzahl der linear unabhängigen Zustände, die eine gegebene Energie haben, wird als Entartung des Niveaus bezeichnet. Das heißt, (n-fache) Entartung.

Sie haben eine bestimmte Anzahl unterschiedlicher Positionszustände, denen jeweils eine bestimmte Anzahl unterschiedlicher Impulszustände zugeordnet werden kann, sodass die Gesamtzahl der unterschiedlichen Zustände das Produkt der beiden ist.

Ein Molekül könnte also an Position X = 5 sein, mit Impuls P = 7 und so weiter. Zumindest lese ich das so, bis ich ein paar Bücher nachschlage. Diese Idee erweitert er dann auf 3D.

Zu (1): Die Zustände, die du geschrieben hast, haben Energie$\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{2\pi n}{L})^2$und in diesem Fall gibt es tatsächlich unendlich viele linear unabhängige Wellenfunktionen.

In dem Buch beginnt der Autor mit der Betrachtung eines einzelnen Gasatoms mit fester Energie$U$in einer Kiste. Dann will er die Anzahl linear unabhängiger Wellenfunktionen bei dieser bestimmten Energie zählen. Dies entspricht einer Kugel im Impulsraum:$p_x^2+p_y^2+p_z^2=p^2$, und die Anzahl solcher linear unabhängiger Wellenfunktionen ist endlich.

Ich denke, er betont, dass Sie Unabhängigkeit brauchen , um eine endliche Zahl zu erhalten, weil zwei Energie-Eigenzustände gegeben sind$|\phi\rangle$,$|\psi\rangle$, kann man immer "dumme" Linearkombinationen nehmen:

$\alpha |\phi\rangle+(1-\alpha)|\psi\rangle$.

Hoffe das hilft.

Bearbeiten: über (2):

Dies geschieht traditionell für$N$Partikel, aber lassen Sie mich eine informelle Skizze geben:

Verwenden der Notation von count_to_10 :$E_=(n_x^2+n_y^2+n_z^2) h^2/8mL^2$. Wir wollen nun zählen, wie viele Zustände Energie kleiner als haben$\bar{E}$.

Zunächst einige Notationen: let$\Phi(\bar{E})$bezeichnen die Anzahl der Zustände mit Energie$\leq \bar{E}$Und$\omega(\bar{E})$bezeichnet die Anzahl der Zustände mit Energie im Bereich$[\bar{E},\bar{E}+\delta E]$.

Betrachtet man die Formel für die Energie:$(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=8mL^2 E / h^2$. Dies besagt genau, dass der Vektor$(n_x,n_y,n_z)$hat eine feste Länge (quadratische Norm). Also Zustände mit Energie kleiner als$\bar{E}$sind durch Punkte in gegeben$n$Raum innerhalb der Sphäre des Radius$(8mL^2 E / h^2)^{1/2}$. Die Gesamtzahl solcher Punkte kann durch das Volumen der Kugel angenähert werden:

$\Phi(\bar{E})=\frac{1}{8}\frac{4}{3}(\frac{8mL^2\bar{E}}{h^2})^{\frac{3}{2}}$.

Der$1/8$liegt daran, dass wir nur positiv bewerten$n$'s, also nur ein Oktant.

Jetzt kennen wir die Anzahl der Zustände mit Energie$\leq \bar{E}$, können wir die Anzahl der Zustände mit Energie erhalten$[\bar{E},\bar{E}+\delta E]$indem man die Ableitung bzgl.$\bar{E}$:

$\omega(\bar{E})=\frac{1}{4} L^3 (\frac{8m}{h^2})^{3/2} E^{\frac{1}{2}} \delta E$.

Hier sehen Sie das "Positionsvolumen" von gegeben$L^3$und der Rest kann als aus dem Volumen stammend angesehen werden, das von erlaubten Momenten überspannt wird. Jedenfalls denke ich, dass der Autor diese Formel als handwinkendes Argument geschrieben hat und das genaue Ergebnis später in diesem Buch beweisen wird.

Ps: Der obige Trick kann wie folgt verstanden werden:

$\omega(E)=\Phi(E+\delta E)- \phi(E)= \frac{\Phi(E+\delta E)-\Phi(E)}{\delta E} \delta E \approx \frac{d\Phi}{dE}\delta E$.