Schwierigkeiten beim Verständnis der Raumzeit

Es findet keine Umrechnung von Zeit in Raum statt. Das, woran Sie denken, nennt man die Metrik der Raumzeit. Einfach ausgedrückt betrachten wir die Zeit als eine andere Dimension in einem 4-D-Raum. Das bedeutet nicht, dass die Zeit in Entfernungen gemessen wird. Stellen Sie sich ein Universum mit nur einer räumlichen Dimension vor. Wir könnten den Weg eines Teilchens entlang dieser Dimension als Diagramm von grafisch darstellen$t$vs$x$

sehen Sie, wie x zunehmen oder abnehmen kann, aber das Teilchen bewegt sich nur zeitlich vorwärts. Bei drei räumlichen Dimensionen ist das etwas schwieriger, aber das Konzept ist das gleiche. Um nun den Abstand zwischen zwei Ereignissen zu bestimmen, verwenden wir die sogenannte Raummetrik , die im Wesentlichen nur ein Operator ist, der zwei Ereignis-"Vektoren" nimmt und einen Abstand zwischen ihnen erzeugt. In der speziellen Relativitätstheorie, also der flachen Raumzeit, ist diese Metrik

$$ds = (-dt\times c)\hat{t}+(dx)\hat{i}+(dy)\hat{j}+(dz)\hat{k}$$ .

Wenn wir die Zeitkomponente für einen Moment vernachlässigen, sehen wir, dass dies genau wie eine Differentialform der Abstandsformel im 3-D-Raum aussieht, die ein Skalarprodukt von Positionsvektoren verwendet und nicht nur Koordinatenmaße:

$$\Delta r = \sqrt[]{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}\,$$

und das ist es tatsächlich. Um genau zu sein, für zwei beliebige Positionsvektoren im Raum, die mit bezeichnet sind$\overrightarrow{u}$Und$\overrightarrow{v}$, die Größe des Abstands zwischen ihnen ist gegeben durch:

$$d=\overrightarrow{u}\bullet(\eta\overrightarrow{v})$$ ,

Wo$\eta$ist die Metrik, die auch geschrieben werden kann als:

$$\eta= \left( \begin{array}{cccc} -c & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Im Allgemeinen kann dies als Äquivalent zur obigen Vektordarstellung angesehen werden (wenn Sie mit der Dirac-Notation vertraut sind,$\langle\overrightarrow{u}|\eta|\overrightarrow{v}\rangle$). Da dies sowohl Raum als auch Zeit berücksichtigt, kann ein Beobachter ein Ereignis sehen, das zu einem späteren Zeitpunkt als ein anderer und/oder an einem anderen Ort stattfindet. Jedoch,$ds$ist immer gleich. Obwohl die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziert wird, um sie zu den räumlichen Anteilen hinzuzufügen, wird die Zeit immer noch in „Sekunden“ (oder Minuten oder was auch immer) gemessen. Der Grund, mit dem es multipliziert wird$c$ist ein bisschen kompliziert (googeln Sie „Null-Geodäten“, um mehr zu erfahren), aber eine einfache Erklärung ist, dass, da wir wissen, dass Licht das schnellste Ding in unserem Universum ist, a$ds$dass Modelle unseres Universums ein absolutes Minimum haben müssen$c\times dt$. Der Grund für das Minuszeichen ist auch ein wenig komplex, aber es hat damit zu tun, dass die Metrik „Lorentz-invariant“ bleibt, wenn das Gedächtnis reicht.