Kann die Schwerkraft statt durch Verkrümmung der Raumzeit durch lokal variierende Zeitraten dargestellt werden?

Nein. Diese Art von Vorschlag kann höchstens eine unabhängige Komponente des Riemannschen Krümmungstensors (über einen Geschwindigkeitsparameter) „steuern“, und wir treffen routinemäßig auf Metriken in der Gravitationstheorie, die sowohl eine reine räumliche Krümmung als auch Zeitkomponenten für den Krümmungstensor haben.

Sehen Sie sich als Beispiel die FLRW-Metrik an , wofür:

$$\begin{array}{lcl}R_{tt}& =& - 3 \frac{\ddot{a}}{a}\\ R_{rr} &=&\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2}\\ R_{\theta\theta} &=& r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\\ R_{\phi\phi} &=&r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta)\end{array}$$

wobei man zwei unabhängige Parameter hat, den Skalierungsfaktor$a(t)$(der im Vorschlag des OP als "Steuerknopf" ausgelegt werden könnte) und die räumliche Krümmung. Es ist wahr, dass man die Gleichungen normalisieren kann, aber Sie haben immer noch drei grundlegend unterschiedliche Möglichkeiten$k=\pm1$Und$k=0$. Darüber hinaus kann man natürlich viel kompliziertere, inhomogene Metriken als gültige Lösungen der Einstein-Feldgleichungen finden.

Bevor wir diese Frage beantworten, halte ich es für richtig, zu diskutieren, was gefragt wird. Wie Rod erklärt, gibt es sicherlich Lösungen für die Einstein-Feldgleichungen, die nicht durch einen einzelnen Parameter erklärt werden können. Die umrahmte Frage scheint jedoch anzunehmen, dass es eine universelle Methode gibt, um zu definieren, wie schnell die Zeit vergeht. Was mit Zeitdilatation gemeint ist, ist, dass sich die Eigenzeit entlang zweier unterschiedlicher zeitartiger Kurven, die zwei Ereignisse verbinden, unterscheidet. Das kann in der Minkowski-Raumzeit passieren, wo uns das universelle Referenzsystem die Dinge erleichtert, und es kann in gekrümmten Raumzeiten passieren. Aus dieser Sicht sollte die Frage vielleicht umformuliert werden als:

Können die Auswirkungen der Raumzeitkrümmung aus der Kenntnis der Zeitdilatation entlang aller unterschiedlichen zeitähnlichen Pfade rekonstruiert werden? Möglicherweise durch Einführung neuer dynamischer Gleichungen, die die Zeitdilatation mit anderen beobachtbaren Effekten verknüpfen.

Wenn dies der Fall wäre, könnte man sagen, dass die Raumzeitkrümmung vollständig nur durch die Berücksichtigung der Zeitdilatation erklärt werden könnte. Nun, richtige Zeit entlang einer Kurve,$\gamma$, wird durch Integrieren der Metrik entlang der Kurve gefunden

$$\Delta\tau = \int_\gamma d\tau = \int_\gamma\sqrt{g_{ab}dx^adx^b},$$ wo wir solche Einheiten angenommen haben $c = 1$und zeitgemäße Signatur, $(+---)$. Dies würde uns im Prinzip erlauben, die Grundelemente der metrischen Komponenten entlang unserer zeitähnlichen Kurven zu rekonstruieren, und die Krümmung wird durch einen ziemlich langen Ausdruck gegeben, der zweite Ableitungen der Metrik beinhaltet.

So vielversprechend dies auch aussehen mag, die Tatsache, dass wir nur zeitartige Kurven betrachten können, bedeutet jedoch, dass wir keine Möglichkeit haben, die Abhängigkeit metrischer Komponenten entlang raumartiger oder Nullkurven (durch Zeitdilatation) zu untersuchen. Etwas mathematischer ausgedrückt: Wir können nur die Ableitungen der metrischen Komponenten nach zeitartigen Koordinaten kennen, und von diesen nur die "zeitlichen Komponenten": Wenn wir Koordinaten wählen$(t,x^1,x^2,x^3)$so dass$x^i$($i \in \{1,2,3\}$) entlang einer Kurve konstant sind

$$\Delta\tau = \int_\gamma\sqrt{g_{tt}}dt,$$ und wir können im Prinzip das Primitiv von rekonstruieren $\sqrt{g_{tt}}$gegenüber $t$nur. Und das reicht sicherlich nicht aus, um den Krümmungstensor in irgendeiner Raumzeit zu rekonstruieren, selbst wenn alle möglichen zeitähnlichen Koordinaten untersucht werden.

Es ist schwierig, Ihre Frage für alle möglichen Konfigurationen der Schwerkraft zu beantworten, aber innerhalb der Schwarzschild-Metrik lässt sich leicht zeigen, dass die Schwerkraft nicht nur als gekrümmte Raumzeit dargestellt werden kann, sondern - genau wie Sie vermuten - auch als Gravitationszeitdilatation im flachen Raum.

Die Schwarzschild-Metrik ist die grundlegendste Beschreibung der Raumzeitkrümmung durch Schwerkraft, das ist sie

$$\mathrm ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2~\mathrm dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2GM}{c^2 r} }~\mathrm dr^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta ~\mathrm d\Phi^2\right)$$

Im Gegensatz dazu ist die entsprechende Minkowski-Metrik (mit flacher Raumzeit).

$$\mathrm ds^2 = -~ c^2~\mathrm dt^2 + \mathrm dr^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta~\mathrm d\Phi^2\right)$$

Wo$\mathrm dt$ist ungekrümmte Zeit und$\mathrm dr$ist eine ungekrümmte radiale Verschiebung.

Wenn Sie beide vergleichen, finden Sie das in der Schwarzschild-Metrik Zeit$\mathrm dt$wird mit der Konstante multipliziert

$$\sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}}$$ und Raum $\mathrm dr$wird durch dieselbe Konstante dividiert. Genau dieser Faktor repräsentiert die Raumzeitkrümmung. Die Konstante ist die Gravitationszeitdilatation. Wenn wir die Konstante = setzen $C$, können wir die Schwarzschild-Metrik folgendermaßen kürzer schreiben: $$\mathrm ds^2 = -~c^2 (C~\mathrm dt)^2 + {\left(\frac {\mathrm dr}{C}\right)}^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta~\mathrm d\Phi^2\right)$$ Vergleicht man diese Kurzform mit der obigen Gleichung der Minkowski-Metrik, unterscheidet sich die Schwarzschild-Metrik von der ungekrümmten Minkowski-Metrik nur durch einen Koeffizienten $C$was mit der Gravitationszeitdilatation identisch ist. Das bedeutet, dass die gekrümmte Raumzeit der Schwarzschild-Metrik auch durch gravitative Zeitdilatation beschrieben werden kann - im absoluten, flachen Raum!

Gekrümmte Raumzeit und Gravitationszeitdilatation im flachen Raum sind zwei äquivalente Modelle. Für letztere wird die Gravitation durch die Tendenz von Partikeln ausgedrückt, ihre eigene Gravitationszeitdilatation zu maximieren.

Edit 1: Die Schwarzschild-Metrik liefert sogar eine einfachere Antwort auf Ihre Frage: In der Schwarzschild-Gleichung sind die Verschiebungskoordinaten dt und dr (sowie dΘ und dΦ) nicht gekrümmt! Wie Sie sehen, ist die Metrik ds das Ergebnis einer Multiplikation von dt mit C und der Division von dr durch C, was eine verzerrte Metrik ergibt. Die Terme auf der rechten Seite dt und dr sind jedoch nicht verzerrt und nicht verzerrt, sie sind flache Polarkoordinaten, und das Polarkoordinatensystem kann in das entsprechende kartesische Koordinatensystem des flachen Raums transkribiert werden.

Bearbeiten 2: Ihre Frage kann von großer Bedeutung sein. Wenn das, was ich für die Schwarzschild-Metrik gezeigt habe, allgemein zutreffen würde (z. B. Kerr-Metrik usw.), würde dies bedeuten, dass die Gravitation ausschließlich durch Zeitmodulation im flachen Raum beschrieben werden kann. Dies könnte im Hinblick darauf entscheidend sein, dass der Zeitparameter in der Quantenmechanik kein Operator, sondern klassisch ist. Hier könnte meiner persönlichen Meinung nach ein Weg liegen, Gravitation und Quantenmechanik in Einklang zu bringen.