Schwierigkeiten beim Verständnis von Definitionen mit infinitesimalen Mengen

Wenn Sie an etwas mehr mathematischer Strenge interessiert sind:

Du liegst absolut richtig,$\rho(x)$, mathematisch gesprochen, ist die Ableitung. Es ist nichts als$m^{'}(x)$. Wenn Leute Tricks wie das Multiplizieren mit machen$\mathrm{d}x$oder etwas ähnliches, ist nur ein Notationstrick (obwohl es bei "braven" Funktionen jedes (?) Mal funktioniert).

Das Gesamtdifferential$\mathrm{d}U = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w$ist sozusagen ein anderes Tier, es wird als „ Ein-Form “ bezeichnet und ist – mathematisch gesprochen – im Sinne einer Integration zu verstehen, so dass:

$\int \mathrm{d}U = \int \mathrm{d}q + \int \mathrm{d}w$

Die Rede von „unendlichen Größen“ ist ein nettes Denkmodell und wird oft für praktische Berechnungen verwendet, aber letztendlich muss man sich die mathematischen Definitionen ansehen, um „zu wissen, was die Objekte wirklich sind“.

Hoffe das hilft.

Sie könnten an die Funktionen denken$m(x)$oder$W(t)$als Funktionen, die eine Art Akkumulation darstellen. Zum Beispiel mit Macht könnte man definieren$W(t)$wie die Arbeit seit einiger Zeit getan$t=t_0$. Dann ist die Momentanleistung gerecht$P=\text dW/\text dt$. Für die lineare Dichte könnte man sich vorstellen$m(x)$da die masse die du "gezählt" hast, beginnend am rand des körpers. Dann ist die lineare Dichte gerade$\rho=\text dm/\text dx$.

Jedenfalls drücken wir diese Gleichungen normalerweise etwas anders aus

Dies spiegelt sich auch im ersten Hauptsatz der Thermodynamik wider$\text dU=\text dq+\text dw$. Die infinitesimale Veränderung der inneren Energie$\text dU$des Systems wird durch die infinitesimale Menge an Energie erklärt, die aufgrund von Wärme eintritt/verlässt$\text dq$und die unendlich kleine Menge an Energie, die aufgrund der Arbeit eingeht/austritt$\text dw$. Beachten Sie, dass Sie manchmal stattdessen sehen$\delta q$Und$\delta w$um eine Pfaddeoendenz zu bezeichnen. Ja, die Summe zweier infinitesimaler Werte ist im Allgemeinen auch infinitesimal.

Das muss nicht generell so sein$\text df=f(x+\text dx)-f(x)$, das liegt daran, dass im Allgemeinen$f$muss nicht durchgehend sein. Da würde ich in dem Fall denken$\text df$würde nicht da die Grenze definiert werden$f(x+\text dx$als$\text dx\to 0$würde nicht definiert werden, aber ich bin kein Mathematiker, also könnte ich hier weg sein. In jedem Fall arbeiten wir normalerweise mit stetigen Funktionen mit stetigen Ableitungen, daher ist dies normalerweise kein Problem.

Die Massendichte$\rho(x)$, und Macht$P(t)$werden als Derivate definiert. Dies ist analog zur (eindimensionalen) Geschwindigkeit,$v = dx/dt$. Auf den ersten Blick macht es keinen Sinn, die Geschwindigkeit als Ableitung zu definieren, aber es erscheint intuitiver, sie als Verhältnis endlicher Differenzen zu definieren,$\Delta x/\Delta t$. Wenn wir uns jedoch jede Größe als Funktion vorstellen , wird die Ableitungsdefinition klarer.

Betrachten wir also einen speziellen Fall$x(t) = t^2$und frage: "Wie groß ist die Geschwindigkeit zur Zeit$t_1=2s$?" Mit dem Begriff der endlichen Differenz könnten wir z. B. zeitweise Stellung beziehen$t_0=1.5s$Und$t_2=2.5s$und berechnen$v(t_1) \approx \frac{x(t_2)-x(t_0)}{t_2 - t_1}$. Wenn wir jedoch die Position als Funktion der Zeit in Blau und die berechnete Geschwindigkeit in Rot darstellen, sehen wir, dass das Ergebnis nicht perfekt ist.

Daher liegt es nahe, den Zeitunterschied zu verringern$\Delta t = t_2 - t_1$. Dabei werden wir beobachten, dass sich die rote Linie immer näher an „die lokale Form“ der blauen Linie annähert. An der Grenze$\Delta t \to 0$, die lediglich die Ableitung ist, erhalten wir die beste Übereinstimmung.

Das gleiche Argument gilt für Ihre Beispiele. Bei der Massendichte zB sollten wir in Funktionen denken. Daher die Masse$m(x)$ist eine Funktion und damit die Massendichte$\rho(x)$wird eine Funktion.

In der Standardanalytik haben wir es nicht mit unendlich kleinen Mengen zu tun. Selbst in der nicht standardmäßigen Analyse, in der infinitesimale Mengen zulässig sind, können wir mathematisch keine einzelne Instanz einer infinitesimalen Größe konstruieren.

Die Ableitung ist kein Verhältnis unendlich kleiner Größen, sie ist die Grenze des Verhältnisses kleiner Größen

wobei die Grenze das für alle bedeutet$\epsilon >0$da ist ein$\delta >0$so dass wenn$0 < \delta x < \delta$Dann

Für die Zwecke der Physik sind wir nicht an exakten Zahlenergebnissen interessiert, sondern an messgenauen Ergebnissen. In der Praxis brauchen wir nur, dass das gemessene Ergebnis innerhalb liegt$\epsilon$des Nennwerts, wo$\epsilon$bezieht sich auf die Messgenauigkeit.

Es ist daher üblich, sehr kleine Mengen zu behandeln$\delta x$als wären es unendlich kleine Mengen$dx$und auch die Notation zu verwenden$dx$und beziehen sich auf eine infinitesimale Menge, wenn wir streng genommen von Mengen sprechen, die so klein sind, dass jeder Fehler geringer ist als die erforderliche Messgenauigkeit.