Zwei totale Differentiale mit gleichen variablen Differentialen. Warum sind Koeffizienten vor Differentialen gleich?

Question

Zwei totale Differentiale mit gleichen variablen Differentialen. Warum sind Koeffizienten vor Differentialen gleich?

Alex Alex

Könnten Sie beweisen, dass diese Schlussfolgerung gültig ist:

(1) {\begin{matrix} D U = T D S - P D v \\ D U = \frac{\partial U}{\partial S} D S + \frac{\partial U}{\partial v} D v \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} T = \frac{\partial U}{\partial S} \\ - P = \frac{\partial U}{\partial v} \end{matrix}

$(1) \left\{ \begin{array}{c} dU=T dS-pdV \\ dU=\frac{\partial U}{\partial S}dS+ \frac{\partial U}{\partial V} dV \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{c} T=\frac{\partial U}{\partial S} \\ -p=\frac{\partial U}{\partial V} \end{array} \right.$ Das heißt, wenn Sie zwei totale Differentiale mit gleichen variablen Differentialen haben, sind die Koeffizienten vor denselben Differentialen gleich.

In Lehrbüchern der Physikalischen Chemie wird diese Frage als selbstverständlich behandelt. Ich finde es nicht selbstverständlich. Ich habe viel Zeit und Mühe darauf verwendet, es zu lösen. Ich habe diese Frage auf anderen Websites gestellt und keine zufriedenstellende Antwort erhalten. Ich bekam Antworten wie „Siehst du nicht, dass es selbstverständlich ist“. Ich habe viel Zeit damit verbracht, die Prädikatenlogik selbst zu lernen, ich kenne alle Schlußregeln. Könnten Sie diese Frage auf ein allgemeineres Babybeispiel reduzieren? Es wäre schön, einen algebraischen Beweis dieser Schlussfolgerung zu sehen.

Soweit ich es bekomme ist es: $(2)~~~0=(T-\frac{\partial U}{\partial S})dS+ (-p-\frac{\partial U}{\partial V}) dV$

Ich verstehe das:

(3) {\begin{matrix} D v = 0 ⟹ T = \frac{\partial U}{\partial S} \\ D S = 0 ⟹ - P = \frac{\partial U}{\partial v} \end{matrix}

$(3) \left\{ \begin{array}{c} dV=0 \implies T=\frac{\partial U}{\partial S}\\ dS=0 \implies -p=\frac{\partial U}{\partial V} \end{array} \right.$ AKTUALISIEREN:

(4) \forall S \forall v {\begin{matrix} D U = T (S - S_{0}) - P (v - v_{0}) \\ D U = \frac{\partial U (S_{0}, v_{0})}{\partial S} (S - S_{0}) + \frac{\partial U (S_{0}, v_{0})}{\partial v} (v - v_{0}) \end{matrix}

$(4) \forall S \forall V \left\{ \begin{array}{c} dU=T (S-S_0)-p(V-V_0) \\ dU=\frac{\partial U(S_0, V_0)}{\partial S}(S-S_0)+ \frac{\partial U(S_0,V_0 )}{\partial V} (V-V_0) \end{array} \right.$ (5) wird durch (4) unter Verwendung der von uns festgelegten universellen Eliminierung impliziert

V

$V$ Zu

V_{0}

$V_0$

(5) {\begin{matrix} D U = T (S - S_{0}) \\ D U = \frac{\partial U (S_{0}, v_{0})}{\partial S} (S - S_{0}) \end{matrix} ⟹ T = \frac{\partial U (S_{0}, v_{0})}{\partial S}

$(5) \left\{ \begin{array}{c} dU=T (S-S_0) \\ dU=\frac{\partial U(S_0,V_0)}{\partial S}(S-S_0) \end{array} \right. \implies T=\frac{\partial U(S_0,V_0)}{\partial S}$ (6) wird durch (4) unter Verwendung der von uns festgelegten universellen Eliminierung impliziert

S

$S$ Zu

S_{0}

$S_0$

(6) {\begin{matrix} D U = - P (v - v_{0}) \\ D U = \frac{\partial U (S_{0}, v_{0})}{\partial S} (v - v_{0}) \end{matrix} ⟹ - P = \frac{\partial U (S_{0}, v_{0})}{\partial S}

$(6) \left\{ \begin{array}{c} dU=-p (V-V_0) \\ dU=\frac{\partial U(S_0,V_0)}{\partial S}(V-V_0) \end{array} \right. \implies -p=\frac{\partial U(S_0,V_0)}{\partial S}$ Wenn wir dann die Konjunktionseinführung von (5) und (6) verwenden, erhalten wir (7).

(7) {\begin{matrix} T = \frac{\partial U (S_{0}, v_{0})}{\partial S} \\ - P = \frac{\partial U (S_{0}, v_{0})}{\partial v} \end{matrix}

$(7) \left\{ \begin{array}{c} T=\frac{\partial U(S_0,V_0)}{\partial S} \\ -p=\frac{\partial U(S_0, V_0)}{\partial V} \end{array} \right.$ Habe ich recht?

Bill Watt

Sieht aus wie die chain ruleDifferenzierung.

Antworten (2)

Zwei totale Differentiale mit gleichen variablen Differentialen. Warum sind Koeffizienten vor Differentialen gleich?

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Der fehlende konzeptionelle Schritt, um die Argumentation nach Ihren letzten Gleichungen abzuschließen, ist das

0 = (T - \frac{\partial U}{\partial S}) D S + (- P - \frac{\partial U}{\partial v}) D v

$0=\left(T-\frac{\partial U}{\partial S}\right)dS+ \left(-p-\frac{\partial U}{\partial V}\right) dV$ muss für alle gelten $dS$ und für jeden $dV$ . Daher, wenn Sie den Spezialfall nehmen

d S = 0

$dS=0$ ,

d V \neq 0

$dV \neq 0$ , Wir müssen haben

p = - {\frac{\partial U}{\partial V} |}_{S}

$p=-\left.\frac{\partial U}{\partial V}\right|_S$ . Indem

d S \neq 0

$dS \neq 0$ ,

d V = 0

$dV = 0$ , erhalten wir die andere Bedingung.

@AlexAlex Das einzige, in dem ich nicht einverstanden bin, ist der Punkt, an dem Sie die partiellen Ableitungen in Ihrer Formel (4) und folgenden auswerten. Es sollte sein $S_0, V_0$ .

Nakshatra Gangopadhay · Answer 2

Ja, Sie haben das Richtige getan. So wie ich das sehe, hast du nur eine Kleinigkeit übersehen. In der letzten Aussage haben Sie richtig geschrieben, dass T = dU / dS, wenn dV = 0, aber Sie müssen dies in Ihr Differential einbeziehen. Wir schreiben folgendes:

Beachten Sie das kleine „v“ und das „s“ neben dem Differenzial? Das bedeutet, dass V oder S konstant sind, dh dV oder dS gleich 0. Diese Gleichung lautet, dass, wenn v konstant ist (dV=0), dU=del U/del S und wenn S konstant ist (dS=0), dU=del U/del V.

Wenn Sie es auf diese Weise schreiben, werden die beiden Begriffe absolut voneinander verschieden. Einer bezieht sich auf dS und der andere auf dV. Stellen Sie sich das so vor:

Denken Sie jetzt darüber nach, sind x und warum in irgendeiner Weise verwandt? Kein Recht ? Wir betrachten sie als zwei verschiedene Dimensionen. Deshalb vergleichen wir die Koeffizienten vor dX und dY direkt und separat. Bei deinem Problem verhalten sich dV und dS so. Sie sind getrennt und unabhängig.

Sehen Sie jetzt, dass Sie anstelle von x und y als Variablen Differentiale haben . Aber das macht nichts, sie sind auch unabhängige Variablen. Deshalb vergleicht man die Koeffizienten direkt und setzt sie gleich.

Hier ist eine andere Möglichkeit, Sie können dies sehen.

Denken Sie daran, dass die kleinen v oder s im Index bedeuten, dass sie konstant sind, und Sie müssen es so schreiben.

Ich hoffe, das löst es für Sie.

(Vergessen Sie nicht, diese Indizes hinzuzufügen, wenn Sie Differentiale schreiben, die Notation kann den Unterschied ausmachen!)

BEARBEITEN: Euklids erstes Axiom der Mathematik lautet: „Zwei Dinge, die einem dritten Ding gleich sind, sind einander gleich. Also, wenn A=B und C=B, dann A=C. Klingt einfach oder? Setzen Sie nun in beide Gleichungen dV = 0 ein. Sie erhalten dU=Tds und dU = (del U/del S) dS.

dU ist auf beiden Seiten gleich, also gleichsetzen. Tds=(del U/del S)dS.

Löschen Sie das dS an beiden Enden, und da haben Sie es. Diese Mathematik selbst sagt Ihnen also, dass sie gleich sind.

Sie können Gleichungen mit mathjax eingeben. Damit lassen sich Gleichungen gut schreiben. Eine Einführung finden Sie hier math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…
Soweit ich Ihren Punkt verstanden habe, ist diese Aussage $dV=0 \implies \frac{\partial U}{\partial S}$ ist äquivalent zu $(\frac{\partial U}{\partial S})_V$ . Soweit ich verstehe, ist das tiefgestellte "V" üblich und $(\frac{\partial U}{\partial S})_V$ ist das gleiche wie $(\frac{\partial U}{\partial S})$ . Können Sie diese Aussage bitte belegen $dV=0 \implies \frac{\partial U}{\partial S}$ ist gleichbedeutend mit Aussage $(\frac{\partial U}{\partial S})_V$ .
Über Euklids erstes Axiom. Ich verstehe es immer noch nicht. Ich habe 5 Hefte A4x 48p gefüllt mit prädikatenlogischen Übungen. Ich habe einen Master-Abschluss in Chemie.

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