Schwingt eine Hohlkugel länger als eine Vollkugel?

Nehmen Sie an, dass Folgendes konstant ist:

  • Oberfläche beider Kugeln
  • Die Kugeln bestehen beide aus Titan (Ti).
  • Ein Mechanismus, der eine bestimmte Kugel trifft, liefert die gleiche Energie pro Schlag.
  • Kugeln werden in einem Vakuum an einer flexiblen Schnur aufgehängt, die eine vernachlässigbare Masse und eine große Festigkeit besitzt.
  • Beide Sphären sind im Vergleich zur Schlagkraft massiv genug, sodass die Energie hauptsächlich in Vibration und nicht in Bewegung im 3D-Raum umgesetzt wird.
  • Hohlkugel enthält ein Vakuum.

Von Interesse ist vor allem, ob die Schwingungsdauer bei der Hohlkugel signifikant länger wäre als bei der Vollkugel.

Hypothese: Die massive Kugel würde die Schwingung schneller dämpfen, da sie mehr Atome enthält, um die mechanische Energie zu leiten und zu absorbieren. Die glockenförmige Hohlkugel enthält weniger Atome und Wege zu Atomen, die die Schwingungsbelastung verteilen könnten.

Sicherlich. IMHO wäre die Frage interessanter, wenn die Schlagenergie proportional zur Masse wäre. Ich denke, die Hohlkugel würde trotzdem gewinnen. Ich weiß nicht, wie ich das berechnen soll, aber ich denke, die Anzahl der verfügbaren Vibrationsmodi ist sehr wichtig.
Dies kann von der spezifischen Art des Schlags (dh Kraft vs. Zeit) im Vergleich zu den Resonanzen jeder Kugel abhängen. Kräfte, die versuchen, eine der beiden Kugeln deutlich außer Resonanz zu treiben, werden schnell gedämpft.
@probably_someone Ich denke, es ist vernünftig, den Schlag als Delta-Funktion zu behandeln, damit die Kugeln von einem breiten Frequenzbereich angeregt werden.
@PM2Ring Antworten, die eine "schlagende Energie proportional zur Masse" berücksichtigen, sind willkommen.

Antworten (1)

Eine genaue Antwort auf diese Frage ist überraschenderweise mathematisch entwickelt, aber relativ einfach rechnerisch zu finden (wählen Sie Ihre bevorzugte FEM-Software-Suite und tuckern Sie los). Ich werde versuchen, das Problem auf die erste Art und Weise anzugehen, mit dem Vorbehalt, dass diese Erklärung völlig falsch sein könnte und ich mich durch mathematische Fehler täuschen lasse.

Der erste wichtige Aspekt, der zu beachten ist, ist, dass mechanische Wellen durch Feststoffe stärker gedämpft werden, wenn die Wellenfrequenz zunimmt . Dadurch hört man meist nur die „tiefsten“ Eigenfrequenzen eines mechanisch angeschlagenen Objekts. Kurz gesagt, niedrigere Frequenzen = weniger Dämpfung. Die frequenzproportionale Dämpfung in der Strukturmechanik wird normalerweise als "Rayleigh-Dämpfung" bezeichnet und ist eine ziemlich einfache Erweiterung des typischen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfungsmodells, das Sie in Masse-Dämpfer-Feder-Modellen sehen.

Das heißt, unsere Aufgabe ist es nun, die charakteristischen Frequenzen jeder Sphäre zu finden! Unter der Annahme, dass diese Kugeln beim Eintauchen nicht plastisch gebogen werden, folgen die Verschiebungen beider Kugeln den Navier-Lamé-Gleichungen:

ρ ∂ 2 u ∂ T 2 = ( λ + μ ) ∇ ( ∇ ⋅ u ) + μ ∇ 2 u + F

Wo u sind die Verschiebungen, ρ ist die Dichte, λ Und μ sind Materialkoeffizienten und F ist die äußere Kraft. Da die Materialien beider Kugeln gleich sind, kommt der Unterschied tatsächlich von den Randbedingungen auf jeder Kugel. Da die Hohlkugel sowohl eine Innen- als auch eine Außenfläche mit Randbedingungen ohne Traktion hat, sind die oszillatorischen Teile der Lösungen für u werden kleinere Frequenzen haben und daher langsamer dämpfen.

Kurz gesagt, freier Raum zum Schwingen → Vibrationen sind langsamer → Vibrationen dauern länger.

Hoffe das hilft; Fühlen Sie sich frei, dies zu überprüfen / zu beweisen, dass ich falsch liege, indem Sie ein paar Titankugeln schlagen!

Was no-traction boundary conditionsbedeutet?
@nueverest Es bedeutet, dass an den Außengrenzen oder „Kanten“ der Kugeln keine Kräfte pro Oberfläche auferlegt werden. (Dies gilt natürlich nicht, wenn die Kugeln verbeult werden, aber es gilt für jeden Moment unmittelbar danach). Dies trifft in vielen physikalischen Fällen möglicherweise nicht genau zu (z. B. wenn sie wie ein Pendel an eine Schnur gebunden sind), aber eine solche Änderung ist eine vergleichsweise kleine Störung dieser Annahme.
Schwingt eine Hohlkugel länger als eine Vollkugel?
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