Modellierung einer unelastischen Kollision

Ich habe versucht, die unelastische Kollision zwischen einer sich bewegenden Masse und einem großen stationären Objekt zu modellieren, z. B. wenn ein Ball auf den Boden fällt, um die ungefähre Kinematik und Wärmeableitung während der Kollision zu analysieren. Ich habe dies anhand eines mechanischen Schwingungssystems mit einem Freiheitsgrad modelliert, das aus einer Masse besteht$m$, an einer einzigen Feder befestigt, von Steifigkeit$k$, und ein einziger Dashpot-Dämpfer mit Dämpfungsrate$\lambda$, "parallel geschaltet", wie unten gezeigt:

$x$ist die Verschiebung der Masse von dem Punkt, an dem die Kollision gerade beginnt. Die Zusammenhänge zwischen Zugkraft,$T$, und die Verschiebung,$x$, für die Feder bzw. den Dämpfer wird wie folgt angenommen:

$$T_{spring} = kx$$ $$T_{dashpot} = \lambda \dot x$$

BASIS FÜR MODELLIERUNG UND ANNAHMEN

Ich habe dieses System ausgewählt, da die Feder die elastische Natur der Kollision darstellt (Umwandlung zwischen KE und elastischem PE) und der Dämpfer die unelastische Natur des Systems darstellt (verursacht die Dissipation mechanischer Energie). Daher wird dieses Modell Parameter haben$k$Und$\lambda$die für eine bestimmte Kollision experimentell bestimmt werden müssen.

Es wird angenommen, dass das Modell nur für positive Werte aus gültig ist$x$, als negativ$x$impliziert, dass die kollidierenden Massen keinen Kontakt haben, sodass die Auswirkungen der Feder und des Stoßdämpfers im Modell verschwinden. Außerdem wird angenommen, dass die große Masse stationär und massiv genug ist, um sich aufgrund der Kollision nicht zu bewegen. Kurz bevor die Kollision auftritt, zur Zeit$t=0$, die Masse$m$wird mit Anfangsgeschwindigkeit gefahren$u$in der Richtung von$x$. Es wird angenommen, dass das Massensystem einen Freiheitsgrad hat, so dass es sich nicht in eine Richtung bewegen kann, die nicht parallel dazu ist$x$, und es kann sich nicht drehen, so dass die Ausdehnungen von Feder und Dämpfer gleich sein müssen. Die Federn und Dämpfer haben eine vernachlässigbare Masse.

ERGEBNISSE

Die Differentialgleichung des Systems ergibt sich aus dem 2. Newtonschen Gesetz:

$$\frac{m}{k}\ddot x + \frac{\lambda}{k}\dot x + x = 0$$

Durch die Verwendung von Laplace-Transformationen:

$\ddot x(t) \to s^2 \bar x(s) - u$
$\dot x(t) \to s \bar x(s)$
$x(t) \to \bar x(s)$

Ich erhalte folgendes:

$$x(t) = \begin{cases} \frac{u}{\omega} e^{-zt} \sin(\omega t), & \text{for $z \ne \sqrt{ \frac{k}{m} }$} \\[2ex] ut e^{-zt}, & \text{for $z = \sqrt{\frac{k}{m}}$} \end{cases}$$

Wo:
$z = \frac{\lambda}{2m}$ist ein "Verlustfaktor"
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - z^2}$ist die Schwingungsfrequenz

Beachten Sie, dass wenn$\omega$nicht real ist, dann ist das System überdämpft und die folgenden Substitutionen sollten vorgenommen werden:
$\omega = i \omega_{real}$
$\sin{\omega t} = \sin(i \omega_{real} t) = i \sinh(\omega_{real} t)$

Wenn das System hat$z=\sqrt{\frac{k}{m}}$, ist das System kritisch gedämpft und die mechanische Energie wird maximal abgebaut.

Wenn das System entweder kritisch gedämpft oder überdämpft ist, wird die gesamte kinetische Energie während des Stoßes dissipiert, sodass die Masse nach dem Stoß an der großen Masse haften bleibt.

Für den Fall einer unterdämpften Masse ergibt sich die Geschwindigkeit (durch Differentiation von$x(t)$) folgendermaßen:

$$\dot x(t) = -\frac{uz}{\omega} e^{-zt} \sin(\omega t) + u e^{-zt} \cos(\omega t)$$

Die Zeit, die es dauert, bis die Masse zurückkehrt$x = 0$Ist$t = \frac{\pi}{\omega}$. Daher ist die Geschwindigkeit der Masse nach dem Stoß$-u e^{-\pi z / \omega}$. Daher ist die KE-Verstärkung, dh das Verhältnis von KE nach Kollision zu KE vor Kollision, wie folgt:

$$G_{KE} = e^{-2\pi z / \omega}$$

und die durch den Stoß dissipierte Energie ist:

$$E_{loss} = \frac{1}{2}mu^2\left( 1 - e^{-2\pi z / \omega} \right)$$

MEIN PROBLEM

1) Reicht dieses Modell aus, um unelastische Stöße zu approximieren? Habe ich fatale Annahmen getroffen, z. B. ist die Verwendung eines viskosen Dashpots zur Modellierung der Wärmeableitung ungenau? Wenn Sie die Mechanismen des Wärmeverlusts bei einer unelastischen Kollision kennen, könnten Sie mir einen Einblick in die Verbesserung dieses Modells geben? Gilt dieses Modell für bestimmte Materialien?

2) Es scheint, dass für einen bestimmten Stoß der KE-Gewinn unabhängig von der Aufprallgeschwindigkeit der kleineren Masse ist. Wenn ich das Experiment mit den gleichen zwei Kollisionsmassen wiederholte, gibt es Grund zu der Annahme, dass die Kollisionsparameter$k$Und$\lambda$würde ändern? Wenn nicht, hätte jemand als Bonusrunde die Ressourcen, um experimentell festzustellen, dass die KE-Verstärkung für Kollisionen (bei denen die beiden kollidierenden Massen gleich bleiben, aber die Geschwindigkeit der aufprallenden Masse im Experiment variiert wird) unabhängig ist der Geschwindigkeit der aufprallenden Masse?