Seitenzeit und Verwürfelung von Informationen durch schwarze Löcher

Die Seitenzeit entsteht aufgrund der Natur der Verschränkung. Bei einem Hohlraumemitter von Schwarzkörperstrahlung wird ein früh emittiertes Photon mit atomaren Zuständen im Hohlraum verschränkt. Sobald jedoch die Hälfte der Energie in der Kavität emittiert ist, wird nachfolgende emittierte Strahlung mit früher emittierter Strahlung verschränkt. Infolgedessen steigt die Verschränkungsentropie bis zu einem gewissen Maximum an, bei etwa der Hälfte der emittierten Energie, und fällt dann ab. Die verschränkten Zustände liegen gegen Ende in Form von emittierter Strahlung vor.

Ein Schwarzes Loch ist insofern ähnlich, als Hawking-Strahlung von einem verschränkten Paar von Photonen oder Elektron-Positron-Paaren emittiert wird. Einer betritt das Schwarze Loch und der andere entkommt in die Unendlichkeit. Auf halbem Weg, wo das Schwarze Loch die Hälfte seiner Masse abgegeben hat, wird ein Rätsel deutlich. Das Schwarze Loch baut durch diesen Prozess weiterhin Verschränkungsentropie auf. Sie wird die Bekenstein-Entropiegrenze überschreiten. Wenn dies verhindert wird, indem angenommen wird, dass die Verschränkung späterer Hawking-Strahlung mit früher Hawking-Strahlung verschränkt ist, zwingt dies dazu, dass sich zweiteilige Verschränkungen in dreiteilige Zustände entwickeln, was durch einheitliche Evolution nicht möglich ist. Dies soll gegen die Monogamieregel verstoßen. Dies geschieht in der Regel zur sogenannten Seitenzeit.

Die Idee ist dann, dass etwas Katastrophales passiert, wenn entweder die einheitliche Evolution oder das Äquivalenzprinzip versagen. Unitarität wird bevorzugt, das Äquivalenzprinzip versagt also an der sogenannten Firewall.

Ich werde dies nun im Zusammenhang mit betrachten$AdS_3~\sim~CFT_2$, wo ein BTZ Schwarzen Löchern in 2 Raum plus Zeit entspricht$AdS_3$. Ich werde mich diesbezüglich ein wenig ins Zeug legen. Dies wird in Bezug auf das Ryu-Takayanagi-Ergebnis für die Verschränkungsentropie von betrachtet$AdS$Raumzeiten und Quantenfehlerkorrekturcodes. Die Verschränkungsentropie von$CFT_2$Entropie mit Gitterabstand$a$Ist

$$S~\simeq~\frac{R}{4G}ln(|\gamma|)~=~\frac{R}{4G}ln\left[\frac{a}{L}~+~e^{2\rho_c}sin\left(\frac{\pi \ell}{L}\right)\right].$$ wo das kleine Gitter abgeschnitten vermeidet die singuläre Bedingung für $\ell~=~0$oder $L$. Für die Metrik im Formular $ds^2~=~(R/r)^2(-dt^2~+~dr^2 ~+~dz^2)$die geodätische Linie bestimmt die Entropie als Ryu-Takayanagi (RT) Ergebnis $$S~=~\frac{R}{2G}\int_{2a/l}^{\pi/2}\frac{ds}{sin~s}~=~-\frac{R}{2G}ln[cot(s)~+~csc(s)]\Large|_{2a/\ell}^{\pi/2}$$ $$\simeq~\frac{R}{2G}ln\left(\frac{l}{a}\right),$$ das ist das kleine $\ell$Grenze der obigen Entropie.

Das RT-Ergebnis gibt die Entropie an, die mit der Aktion verbunden ist$S_a~\leftrightarrow~S_e$. Komplexität ist eine Form der Kolmogoroff-Entropie$S_a/\pi\hbar$die auch die Form der Entropie eines Systems annehmen kann$S~\sim~k~log(dim~\cal H)$für$\cal H$der Hilbert-Raum und die Dimension über die Anzahl der im Hilbert-Raum besetzten Zustände. Wir können Komplexität auch als das Volumen der Einstein-Rosen-Brücke betrachten$vol/GR_{ads}$oder äquivalent der RT-Bereich$\sim~vol/R_{AdS}$. Wir haben eine Äquivalenz einer solchen Entropie oder Komplexität gemäß den geodätischen Pfaden in Hyperbel$\mathbb H^2$mit geometrischen Mitteln und aus dem quantenmechanischen Formalismus.

Die Seitenzeit eines BH ist dort, wo es durch Hawking-Strahlung auf die Hälfte seiner ursprünglichen Masse abgenommen hat. An diesem Punkt überschreitet die Verschränkungsentropie eines BHs die Entropiegrenzen für BHs. Es ist auch ein Punkt, an dem ein Beobachter, der ein Schwarzes Loch mit einer Reihe bekannter Zustände am Horizont konfiguriert, feststellt, dass diese über das hinaus, was wiederhergestellt werden kann, randomisiert wurden. Der Austausch von Quantenbits am Ereignishorizont überschreitet die Hamming-Distanz. Die Hamming-Distanz misst die minimale Anzahl von Buchstabensubstitutionen, die erforderlich sind, um eine Zeichenfolge in die andere zu ändern. Dies ergibt dann die minimale Anzahl von Fehlern, die eine Zeichenfolge in die andere umgewandelt haben. Zum Page-Zeitpunkt wird diese überschritten. Quantenhaare am Ereignishorizont eines BH definieren eine Art Qubit-Metrik, und eine einheitliche Evolution tritt auf, wenn die Hamming-Distanz zwischen Qubit-Strings klein ist. Sobald es mit den zufälligen Effekten der Hawking-Strahlung sehr groß wird, ist die Entfernung eine enorme Anzahl von Berechnungen und nähert sich der Entropie des BH selbst. An diesem Punkt ist eine einheitliche Evolution unmöglich.

Gegeben ein kausaler Keil$W_1$mit Verstrickung${\cal E}_{W1}$, gibt es die Komplementärregion$\bar W_1$und Verstrickung$\epsilon_{\bar W_1}$. Wir haben mit der RT-Formel das für$W_1$durch die Kurve begrenzt$\gamma_{W_1}$die Funktion${\cal L}_{W_1}~=$ $area(\gamma_{W_1})/4\ell_p$,$\ell_p$die Planck-Länge, die die Entropie linear in der Dichte definiert$\rho$,$Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$. Die Entropie des Keils ist dann in Harlow

$$\begin{equation} S(\rho_{W_1})~=~S(\rho_{{\cal E}W_1})~+~Tr(\rho{\cal L}_{W_1}), \end{equation}$$ Wo $S(\rho_{{\cal E}W_1})$ist die Verschränkungsentropie des Keils. Die RT-Entropie $Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$linear in der Dichtematrix ist, während $S(\rho_{{\cal E}W_1})$wird durch die Shannon-Formel angegeben und ist nicht linear. Durch die Dualität haben wir auch $S(\rho_{\bar W_1})~=~S(\rho_{{\cal E}\bar W_1})$ $+~Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$. Diese Kurve definiert einen Kurvenmodul, bei dem eine Form der RT-Formel die Pseudo-Anosov-Elemente auf Teichmuller-Räumen verwendet . Der Modulraum definiert die Anzahl der Quantenzustände $N$die den Hilbert-Raum besetzen, also Entropie $S(N)~=~log(N)$ $~\sim~Tr(\rho{\cal L}_W)$. Die Geodäten auf der hyperbolischen Oberfläche definieren kausale Keile mit dem RT-Entropiemaß. Angenommen, es gibt zwei kausale Keile $W_1$Und $W_2$durch disjunkte Kurven begrenzt. Wir weisen ferner zu, dass die Länge dieser Kurven gleich ist, damit sie die gleiche Entropie haben $S(W_1)~=~S(W_2)$, wobei wir der Kürze halber vorübergehend auf die Schreibweise der Dichtematrix verzichten. Ein Feld drin $W_1$Und $W_2$wird durch lokale Randoperatoren auf diesen Keilen dargestellt, wenn sich dieses Feld in der durch gekennzeichneten Verschränkungskeilregion befindet $I(\bar W_1,~\bar W_2)$. Die Netzverschränkung $S(\bar W_1,~\bar W_2)$definiert die Entropie der kausalen Keile als $$S(W_1)~=~S(\bar W_1,~\bar W_2)~-~S(\bar W_2)$$ $$S(W_2)~=~S(\bar W_1,~\bar W_2)~-~S(\bar W_1),$$ die für gleiche Verschränkungen die RT-Entropie gemäß der gemeinsamen Entropie definiert $$\begin{equation} Tr(\rho{\cal L}_{\bar W_1})~=~\frac{1}{2}S(\rho_{\bar W_1},~\rho_{\bar W_2}), \end{equation}$$ mit wiederhergestellter Dichtematrix-Notation. Für Gleichberechtigung $S(W_1)~=~S(W_2)$die Entropie dieser Keile ist definiert als $Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$die an Susskinds anschließt $ER~=~EPR$denn diese beiden Keile korrelieren mit zwei Regionen, die durch eine ER-Brücke verbunden sind.

Für Ladungen im Kausalbereich die Kurve$\gamma_W$enthält Konturintegrationen um diese Ladungen herum. Diese können als eine Art Punktion auf der Mannigfaltigkeit betrachtet werden, was die kausalen Keile und bedeutet$AdS_2$ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit hoher Gattung. Die Auswertung der RT-Entropie nach Kurven wird dann durch die Elemente auf Teichmüller-Räumen bestimmt .

Dies veranschaulicht, wie die Page-Zeit für die Verdunstung eines Schwarzen Lochs mit der Zeit für das Verwürfeln von Informationen auf einem BH zusammenhängt. Das Ergebnis der Gleichung$2$für die RT lineare Entropie gleich der halben gemeinsamen Entropie zeigt an, dass ein Quantenfehlerkorrekturcode nur etwa die Hälfte der Quanteninformation als fehlerfrei verarbeiten kann. Das bedeutet, dass Informationen über ein Schwarzes Loch nach Raumzeit oder Quantenmechanik eine doppelte Beschreibung haben. Der$ER~=~EPR$ist sie vielleicht weniger eine Äquivalenz als vielmehr ein komplementäres Prinzip. Die Äquivalenz des Entropiemaßes von Quantenhaar durch RT- und Mirzakhani-Bogenlängen ist dual zum Maß durch Quantenwegintegration. Mit Gleichung$2$jeder lokale Beobachter kann die Entropie nur entweder geometrisch oder gravitativ oder quantenmechanisch beobachten, aber nicht beides mit vollständiger Genauigkeit. Physikalisch bedeutet dies, dass Quantenhaar so ist, dass es eine doppelte Beschreibung durch Geometrie oder durch Quantenzustände hat. Entsprechend impliziert dies eine Dualität zwischen dem Äquivalenz- und dem Einheitsprinzip.