Spin- und Bahndrehimpulsparitätstransformation in 2D

Wenn wir die Definition des Drehimpulses als Erzeuger von Rotationen verwenden, ist das unabhängig von den Dimensionen des Raums ein Vektoroperator$\textbf{V}$Unterdrehungen müssen genügen

$$\begin{equation} U^{\dagger}(R)\textbf{V}_a U(R)=R_{ab}\textbf{V}_b \end{equation}$$ Wo ${R}_{ab}$ist eine D-dimensionale Rotationsmatrix und $U(R)$ist seine Darstellung im Hilbert-Raum, wo der Operator $\textbf{V}$Leben. Betrachten wir eine infinitesimale Drehung, $R_{ab}=\delta_{ab}+\epsilon K_{ab}$Wo $\epsilon$ist ein kleiner Parameter und $K^T=-K$. Der Einheitsoperator $U(R)$, denn ein solcher infinitesimaler Operator muss die Form annehmen $$\begin{equation} U(R)= \textbf{1}+\frac{i\epsilon}{2}K_{ab} \textbf{J}_{ab} + O(\epsilon^2) \end{equation}$$ Beachten Sie, dass, da U einheitlich sein muss, alle Komponenten von $\textbf{J}_{ab}$muss hermitesch sein und da $K$ist antisymmetrisch, $\textbf{J}_{ab}$kann auch antisymmetrisch genommen werden. Setzen Sie diese Form von $U(R)$in die erste Gleichung finden wir die Kommutierungsbeziehungen: $$\begin{equation} i\left[\textbf{V}_c, \textbf{J}_{ab}\right]=\delta_{ac}\textbf{V}_b - \delta_{bc}\textbf{V}_a \end{equation}$$ und diese Formel hängt nicht von der Anzahl der Komponenten ab $\textbf{V}$. Rechnen $$\begin{equation} U^\dagger(R)\textbf{J}_{ab}U(R) \end{equation}$$ das kannst du zeigen $\textbf{J}$verhält sich bei Drehungen wie ein Tensor.

In der D-Dimension ist der Drehimpuls (dh der Generator von Rotationen) daher ein D-dimensionaler antisymmetrischer Tensor vom Rang 2.

In 2 Dimensionen hat ein solches Objekt nur 1 unabhängige Komponente, wie Sie bemerkt haben, und bekanntlich in 3 Dimensionen$\textbf{J}$hat drei unabhängige Komponenten und kann auf einen axialen Vektor reduziert werden.

Um auf unsere Frage zurückzukommen, im speziellen Fall von D = 2 sind die oben beschriebenen Kommutierungsbeziehungen

$$\begin{equation} i\left[\textbf{X},\textbf{J}_{12}\right]=\textbf{Y} \end{equation}$$ $$\begin{equation} i\left[\textbf{Y},\textbf{J}_{12}\right]=\textbf{-X} \end{equation}$$ Mit dieser Vertauschungsrelation kann man das zeigen $\textbf{J}$ändert das Vorzeichen unter einer Paritätstransformation.

Lassen Sie uns die X-Achse umdrehen und Y unverändert lassen:

$$\begin{equation} \frac{1}{i}\textbf{Y} =\frac{1}{i}\pi^\dagger \textbf{Y} \pi = \pi^\dagger \left[\textbf{X},\textbf{J}_{12}\right]\pi=\pi^\dagger \textbf{X}\pi \pi^\dagger \textbf{J}_{12}\pi - \pi^\dagger \textbf{J}_{12}\pi \pi^\dagger \textbf{X}\pi = - \left[\textbf{X}, \pi^\dagger \textbf{J}_{12} \pi\right] \end{equation}$$ Was impliziert $$\begin{equation} \pi^\dagger \textbf{J}_{12} \pi = - \textbf{J}_{12} \end{equation}$$ Dasselbe kann für gezeigt werden $\textbf{J}_{21}$. Seit $\textbf{J}$ändert das Vorzeichen unter einer Paritätstransformation und, wie Sie bemerkt haben, $\textbf{L}$ändert auch das Vorzeichen, $\textbf{S}=\textbf{J} - \textbf{L}$ist ungerade unter Parität.