SR-Zeitdilatationsdiskussion bedeutungslos, wenn Schwerkraft vorhanden ist?

$\let\g=\gamma \let\d=\delta \let\De=\Delta \def\rA{{\rm A}} \def\rB{{\rm B}} \def\rC{{\rm C}} \def\rD{{\rm D}} \def\rE{{\rm E}} \def\rF{{\rm F}} \def\rG{{\rm G}} \def\rU{{\rm U}} \def\tA{t_\rA} \def\tB{t_\rB} \def\tC{t_\rC} \def\tD{t_\rD} \def\tE{t_\rE} \def\tF{t_\rF} \def\tG{t_\rG} \def\xA{x_\rA} \def\xB{x_\rB} \def\xC{x_\rC} \def\xD{x_\rD} \def\xE{x_\rE} \def\xF{x_\rF} \def\xG{x_\rG} \def\tauA{\tau_\rA^\phz} \def\tauB{\tau_\rB^\phz} \def\tauC{\tau_\rC^\phz} \def\tauD{\tau_\rD^\phz} \def\tauE{\tau_\rE^\phz} \def\tauF{\tau_\rF^\phz} \def\tauG{\tau_\rG^\phz} \def\phz{{\phantom0}} \def\cH{{\cal H}} \def\cS{{\cal S}} \def\dt{\d t} \def\Dt{\De t} \def\D#1#2{{d#1\over d#2}}$Ich denke, die Frage sollte nicht geschlossen werden, indem das letzte Wort einer falschen Antwort überlassen wird. Bis jetzt habe ich nur Wörter und keine Gleichungen gesehen, aber meiner Meinung nach ist Physik ohne Zahlen und Gleichungen nur Geschwätz. Ich möchte die Lücke füllen, indem ich eine Lösung gebe, sowohl vollständig als auch standardmäßig - eine Hausaufgabe, könnte ich sagen. Wer anderer Meinung ist, wird gebeten, zu zeigen, was an meiner Antwort falsch ist.

Wir befinden uns in einer flachen Raumzeit. Keine Sterne, Planeten, Galaxien in der Nähe. Mit anderen Worten, nur SR kommt ins Spiel. Von einer Raumstation$\cS$Ein Raumschiff$\cH$gestartet wird, die für eine Zeit$\dt$bewegt sich mit einer konstanten Eigenbeschleunigung$a$(hyperbolische Bewegung), bis es eine Reisegeschwindigkeit erreicht$v$(wrt$\cS$). Eine Kreuzfahrtphase folgt, wenn$\cH$hält seine Geschwindigkeit eine Zeit lang konstant$\Dt$(gemessen an$\cS$Uhren). Jetzt$\cH$beschleunigt rückwärts (mit richtiger Beschleunigung$-a$) für eine Weile$2\,\dt$, wodurch Geschwindigkeit erreicht wird$-v$. Die Rückreise beginnt, nachhaltig$\Dt$.$\cH$Seine Mission endet mit einer Bremsphase: Beschleunigung$a$, Dauer$\dt$. An dieser Stelle$\cH$ist noch in der Nähe$\cS$.

Die Gesamtfahrzeit, gemessen an$\cS$, Ist$2\,\Dt+4\,\dt$. Wie lange dauerte die Reise gemessen an der Uhr des Raumschiffs?

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Veranstaltungen

Ich werde 7 bemerkenswerte Ereignisse hervorheben:

• A: Anfang von$\cH$
• B: Ende der Beschleunigung
• C: Ende der Reiseflugphase – Gegenbeschleunigung beginnt
• D: maximale Entfernung vom Startpunkt ist erreicht
• E: Rückfahrt beginnt
• F: Ende der Rückfahrt - Bremsphase beginnt
• G: Bremsende und Stopp.

Es wird nur ein Trägheitsrahmen verwendet:$\cS$Ruherahmen, mit Koordinaten$(t,x)$. Die gesamte Mission findet statt$x\ge0$. Jede Veranstaltung, sagen wir$U$, hat seine eigenen Koordinaten$t_\rU,x_\rU$. Zeit- und Raumursprünge sind bei fixiert$\rA$, so dass$\tA=0$,$\xA=0$. Wir kennen bereits alle$t$-Koordinaten:

$$\eqalign{ \tB &= \dt \cr \tC &= \dt + \Dt \cr \tD &= 2\,\dt + \Dt \cr \tE &= 3\,\dt + \Dt \cr \tF &= 3\,\dt + 2\,\Dt \cr \tG &= 4\,\dt + 2\,\Dt.\cr}$$ $x$-Koordinaten stattdessen berechnet werden sollen, aber$\xB$,$\xC$ausreichen, da die anderen durch Symmetrie folgen. Dasselbe gilt für Eigenzeiten. Ich werde nur den richtigen Zeitursprung durch Einstellung korrigieren$\tauA=0$.

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Der$\rB$-Fall

Gleichungen der hyperbolischen Bewegung sind

$$\eqalign{ \tB &= t_0\,\sinh {\tauB \over t_0}\cr \xB &= x_0 \left(\cosh {\tauB \over t_0} - 1\right) \cr} \tag1$$ Wo $$t_0 = {c \over a} \qquad x_0 = c\,t_0 = {c^2 \over a}.$$ Durch Eliminieren$\tauB$in Gl. (1) $$\xB = c\,\sqrt{t_0^2 + \tB^2} - x_0 = c\,\sqrt{t_0^2 + \dt^2} - x_0 \tag2$$ und von (1) $$\tauB = t_0 \sinh^{-1} {\tB \over t_0} = t_0 \sinh^{-1} {\dt \over t_0}.\tag3$$

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Der$\rC$-Fall

Aus (2) und aus der Definition von$v$

$$v = \D{\xB}{\tB} = {c\,\tB \over \sqrt{t_0^2 + \tB^2}} = {c\,\dt \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}$$ $$\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} = {t_0 \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}$$ $$\xC - \xB = v\,\Dt$$ $$\tauC - \tauB = \Dt\,\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} = {t_0\,\Dt \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}.\tag4$$

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Antwort und Diskussion

Die gesamte richtige Zeit wurde angefordert, dh

$$\tauG = 4\,\tauB + 2\,(\tauC - \tauB) = 4\,t_0 \sinh^{-1} {\dt \over t_0} + {2\,\Dt \over \sqrt{1 + (\dt/t_0)^2}}.$$ (Gleichungen (3), (4) wurden verwendet). Zu vergleichen mit$2\,\Dt+4\,\dt$.

Lassen Sie uns die Parameter der Beschleunigungsphase unverändert lassen:$a$,$\dt$und dann$v$. Das erkennt man an der Erhöhung$\Dt$die Differenz zwischen beiden Zeiten wird beliebig groß, dh der Zwillingseffekt ist proportional zur Fahrtdauer, während Beschleunigungsphasen einen konstanten Beitrag liefern.

Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass das Zwillingsparadoxon mit Gravitationszeitdilatation lösbar ist.

Es ist ein Irrtum zu glauben, dass die Zwillinge unterschiedlich altern, nur weil sie sich mit einer konstanten Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen. Jetzt ist Geschwindigkeit symmetrisch relativ, was bedeutet, dass beide Zwillinge sagen könnten, dass sich der andere im Vergleich zu ihnen bewegt, also sollten sie weniger altern. Der Zwilling auf der Erde könnte sagen, dass sich der andere Zwilling relativ zu ihm bewegt, und der Zwilling auf dem Raumschiff könnte sagen, dass sich der Zwilling auf der Erde relativ zu ihm bewegt, also könnten beide sagen, dass der andere weniger altern sollte.

Die Lösung ist die Gravitationszeitdilatation. Das liegt daran, dass die Beschleunigung im Universum absolut ist. Der Zwilling im Raumschiff bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, also nicht, wenn die Zwillinge unterschiedlich altern, bis zum Punkt der Rückkehr. Am Rückkehrpunkt muss das Raumschiff abbremsen und beschleunigen, also umkehren. Nun haben Sie recht, wenn Sie denken, dass dies nach dem Äquivalenzprinzip dasselbe ist wie die Auswirkungen der Schwerkraft, die das Raumschiff in der Zeitdimension verlangsamen.

Bis zur Rückkehr passiert nichts, denn das Raumschiff bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und beide Zwillinge altern gleich. Nun beschleunigt das Raumschiff am Rückkehrpunkt, und das hat die gleiche Wirkung wie die Schwerkraft, und das Raumschiff verlangsamt sich in der Zeitdimension. Ein Objekt mit Ruhemasse (wie das Raumschiff) bewegt sich in der Zeitdimension mit der Geschwindigkeit c und in der Raumdimension mit einer Geschwindigkeit kleiner als c.

Wenn sich das Raumschiff nun umdreht, beschleunigt es und wird dadurch in der Zeitdimension langsamer. Das Universum ist so aufgebaut, und der Vierervektor ist so aufgebaut, dass der Betrag des Vierervektors c sein muss. Wenn nun das Raumschiff beschleunigt, ändert sich seine räumliche Geschwindigkeit, also ändert sich seine Geschwindigkeit in den räumlichen Dimensionen, aber die Größe des Vierervektors muss c bleiben. Um dies auszugleichen, wird das Raumschiff in der Zeitdimension langsamer, und das bedeutet, dass der Zwilling auf dem Raumschiff im Vergleich zum Zwilling auf der Erde langsamer altern wird. Dies gilt nur für die Zeit der Wende, wenn das Raumschiff umdreht und sich wieder mit konstanter Geschwindigkeit auf die Erde zubewegt, werden die Zwillinge wieder auf die gleiche Weise altern.

Aber es gab eine Zeit um die Wende, in der sie unterschiedlich gealtert sind, und dieser Unterschied ist jetzt da. Der Zwilling im Raumschiff alterte langsamer als der Zwilling auf der Erde. Wenn sie sich also auf der Erde wiedersehen, werden sie feststellen, dass der Zwilling im Raumschiff jünger ist. Es gibt jetzt einen Abstand zwischen ihnen in der Zeitdimension, und der bleibt so (solange keiner von ihnen beschleunigt).

Das gilt nun aber nur, wenn wir den Unterschied zwischen den Gravitationspotentialen im Bereich des Weltraums, in dem sich das Raumschiff bewegt, und dem Potential der Erde außer Acht lassen. Sie haben Recht, dass der Unterschied zwischen dem Gravitationspotential dort, wo sich das Raumschiff befindet, und der Erde auch die Art und Weise beeinflussen wird, wie die beiden Zwillinge altern.