Stabiles Gleichgewicht bei gegebener Kraft

Wenn sich ein Teilchen unter dem Einfluss einer Widerstandskraft bewegt, die proportional zur Geschwindigkeit und einem Potential ist U ,

F ( X , X ˙ ) = − B X ˙ − ∂ U ∂ X
Wo b>0 und U ( X ) = ( X 2 − A 2 ) 2

Meine Gedanken waren zu machen F = 0 , was zur Folge hätte:

X ˙ = 1 B ( 4 X 3 − 4 A 2 X )
Das heißt, die Gleichgewichtspunkte sind eine Funktion der Zeit?

BEARBEITEN::

Also habe ich wie vorgeschlagen eingerichtet und verwendet F = M X ¨ zu bekommen

0 = M X ¨ + B X ˙ + 4 X ( X 2 − A 2 )
Ich versuche zu lösen X ( T ) . Ich weiß, wie man die Gleichung löst, die nur x hat, aber ich weiß nicht, wie man nach dem x^3-Term löst. Ich bin neugierig, wie ich diese kombinieren kann, um x (t) zu erhalten

Verwandte oder ähnliche Frage physical.stackexchange.com/q/77783/392
Vielleicht mit Laplace-Transformationen, aber es ist wirklich lange her, dass ich so etwas gemacht habe.
@ ja72 andere Frage. Dies sucht nach Gleichgewichtspunkten, wenn die Kraft eine Geschwindigkeitsabhängigkeit aufweist. Der andere Beitrag fragt nach Bewegungsgleichungen bei gegebenem Potential
@yankeefan11: Dieses Problem hat einen einfachen Trick, um es in einem einzigen Schritt zu lösen, ohne Differentialgleichungen zu manipulieren. Ich habe es als Antwort hinzugefügt, obwohl Sie es wahrscheinlich bereits kennen, da dies vor einigen Monaten gefragt wurde.

Antworten (2)

Der stabile Gleichgewichtspunkt liegt bei X = 0 , X = ± A . Dies wird offensichtlich, wenn man bedenkt, dass man für diese Art von Problemen mit linearer Reibung den Reibungsterm eigentlich ignorieren kann, wenn man den Gleichgewichtszustand des Systems berechnet.

Warum? Befindet sich das System im Gleichgewicht, so sind beide in Ruhe ( X ˙ = 0 ) und es wirkt keine Nettokraft ( F = 0 ). Die Kombination dieser beiden Aussagen ergibt

0 = F = − ∂ U ∂ X = 4 X ( X 2 − A 2 )
was impliziert
X ∈ { − A , 0 , A } .

Sie können Gleichgewichtspunkte durch einen von zwei Ansätzen bestimmen:

  1. Verwenden Sie das zweite Newtonsche Gesetz, was Ersetzen bedeutet F von M X ¨ . Die Gleichung wird zu einer ODE 2. Ordnung. Löse es für X .

  2. Verwenden Sie Ihre Formulierung durch Einstellung F = 0 Sie haben eine ODE erster Ordnung erhalten. Löse es für X als Funktion der Zeit. Zu dem Zeitpunkt, an dem die Geschwindigkeit null wird, ist die Kraft bereits null und der Potentialgradient ebenfalls null. Das Teilchen erfährt also keine Kraft und hat keinen Impuls. Der Wert von X zu diesem Zeitpunkt ist die Gleichgewichtslage.

das wird wirklich hässlich, geht das einfacher?
Mir fällt kein anderer Weg ein, Sie können Option 2 tun, indem Sie zu wolframalpha.com gehen, Sie erhalten eine nette Funktion x(t). Sie können die Option "Schritt für Schritt" verwenden, wenn Sie ein Testkonto erstellt haben.
Oder gehen Sie zu Option 1 und lösen Sie es mit MATLAB oder Mathematica. Wenn die Gleichung keine geschlossene Lösung hat, lösen Sie sie numerisch. Dafür gibt es in MATLAB viele Befehle
wolframalpha.com/input/… Wolframalpha spuckt mir keine Lösung aus
Stabiles Gleichgewicht bei gegebener Kraft
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