Beschleunigung von Massen, die an einem System von zwei Umlenkrollen hängen

Question

Beschleunigung von Massen, die an einem System von zwei Umlenkrollen hängen

Siddhartha

Massen $\mathrm{M_1}$ Und $\mathrm{M_2}$ sind wie gezeigt mit einem System aus Schnüren und Riemenscheiben verbunden. Die Saiten sind masselos und nicht dehnbar, und die Riemenscheiben sind masselos und reibungsfrei. Finde die Beschleunigung von $\mathrm{M_1}$ .

Hinweis: Wenn $\mathrm{M_2} = \mathrm{M_1}$ , Beschleunigung ( $A$ ) wird sein $A = \dfrac{g}{5}$

Quelle: Eine Einführung in die Mechanik – Kleppner & Kolenkow

Mein Versuch:

Lassen $T$ sei die Spannung des damit verbundenen Seils $\mathrm{M_2}$ . Also die Spannung des Seils verbunden $\mathrm{M_1}$ wird sein $2T$ . Die Beschleunigung beider Massen ist $A$ .

Bild versuchen

Jetzt, $\mathrm{M_2}g - T = \mathrm{M_2}A \label{1}\tag{1}$

$2T - \mathrm{M_1}g = \mathrm{M_1}A \label{2}\tag{2}$

AusUnd $\ref{2}$ ,

A = \frac{G (2 M_{2} - M_{1})}{(2 M_{2} + M_{1})}

$A = \dfrac{g(2\mathrm{M_2} - \mathrm{M_1})}{(2\mathrm{M_2} + \mathrm{M_1})}$

Wenn jetzt $\mathrm{M_2} = \mathrm{M_1}$ , Ich bekomme, $A = \dfrac{g}{3}$ .

Aber die Antwort ist $A = \dfrac{g}{5}$

Wo liege ich falsch? Werden die Beschleunigungen von $\mathrm{M_1}$ Und $\mathrm{M_2}$ nicht gleich sein? oder gibt es etwas über die Spannungen?

mmesser314

Die Spannungen stimmen. Das Problem ist, dass Sie davon ausgehen

a_{1} = a_{2}

$a_1 = a_2$ . Wenn

M_{2}

$M_2$ 1 cm nach unten geht, wie weit senkt sich Riemenscheibe 2?

Siddhartha

Ich denke wenn

M_{2}

$M_2$ 1 cm nach unten, dann senkt sich Riemenscheibe 2 (dh die bewegliche) ebenfalls 1 cm nach unten und

M_{1}

$M_1$ steigt auch 1cm an. Ist es nicht? Aber wie unterscheiden sich die Beschleunigungen?

mmesser314

Die Riemenscheibe würde 0,5 cm absinken. Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie die Riemenscheibe nur 0,5 cm nach unten ziehen. Das allein würde bewirken

M 2

$M2$ um 0,5 cm abzusenken, wenn sich die Riemenscheibe nicht dreht. Aber es dreht sich, also sinkt $M2# weiter ab.

Siddhartha

Wenn die Beschleunigungen unterschiedlich sind, lassen Sie sie es sein

A_{1}

$A_1$ Und

A_{2}

$A_2$ für M1 bzw. M2. Dann sind die Gleichungen

M_{2} . g - T = M_{2} . A_{2}

$M_2.g–T=M_2.A_2$ … (Ich und

2 T - M_{1} . g = M_{1} . A_{1}

$2T–M_1.g=M_1.A_1$ … (ii). Nun, wie man auflöst

A_{1}

$A_1$ ? OK, es ist eine andere Frage; Riemenscheiben sind reibungsfrei, warum drehen sie sich also?

mmesser314

Bei einer reibungsfreien Riemenscheibe hat das Lager in der Mitte keine Reibung. Die Rolle dreht sich frei, wenn sich das Seil um sie herum bewegt.

mmesser314

Wenn

M_{2}

$M_2$ bewegt sich doppelt so weit wie

M_{1}

$M_1$ , dann ist seine Geschwindigkeit doppelt so groß. Und so ist seine Beschleunigung.

Siddhartha

Danke @mmesser314 . Wenn ich nehme

A_{2} = 2 A_{1}

$A_2 = 2A_1$ , dann finde ich die richtige Antwort dh

A_{1}

$A_1$ = g/5 . Aber ich habe nicht verstanden, wie sich eine masselose, reibungsfreie Riemenscheibe drehen kann. Ich habe bei Google danach gesucht und den Link gefunden, der eindeutig besagt, dass "die (reibungslose) Riemenscheibe im Rotationsgleichgewicht ist" (dh die Riemenscheibe dreht sich nicht). Unter Link gibt es eine lange Diskussion zu diesem Thema, aber nachdem ich gelesen habe, dass ich keine Schlussfolgerung gezogen habe. ich suche noch...

Siddhartha

... um eine anschauliche Erklärung zum Thema "masselose und reibungsfreie Riemenscheibe" zu erhalten.

mmesser314

Dabei spielt es keine Rolle, ob ein masseloses Seil reibungsfrei über eine nicht rotierende Rolle gleitet oder ob sich das Seil ohne Gleiten über eine frei drehende masselose Rolle bewegt. Sie können für dieses Problem beide Arten von idealisierten Riemenscheiben verwenden.

RW Vogel

A2 = 2A1. Wenn Masse 2 um 2 cm abfällt, fällt Riemenscheibe 2 um 1 cm, nimmt links 1 cm Seil auf und lässt rechts 1 cm Seil heraus.

Antworten (1)

Beschleunigung von Massen, die an einem System von zwei Umlenkrollen hängen

Die Spannungen stimmen. Das Problem ist, dass Sie davon ausgehen $a_1 = a_2$ . Wenn $M_2$ 1 cm nach unten geht, wie weit senkt sich Riemenscheibe 2?
Ich denke wenn $M_2$ 1 cm nach unten, dann senkt sich Riemenscheibe 2 (dh die bewegliche) ebenfalls 1 cm nach unten und $M_1$ steigt auch 1cm an. Ist es nicht? Aber wie unterscheiden sich die Beschleunigungen?
Die Riemenscheibe würde 0,5 cm absinken. Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie die Riemenscheibe nur 0,5 cm nach unten ziehen. Das allein würde bewirken $M2$ um 0,5 cm abzusenken, wenn sich die Riemenscheibe nicht dreht. Aber es dreht sich, also sinkt $M2# weiter ab.
Wenn die Beschleunigungen unterschiedlich sind, lassen Sie sie es sein $A_1$ Und $A_2$ für M1 bzw. M2. Dann sind die Gleichungen $M_2.g–T=M_2.A_2$ … (Ich und $2T–M_1.g=M_1.A_1$ … (ii). Nun, wie man auflöst $A_1$ ? OK, es ist eine andere Frage; Riemenscheiben sind reibungsfrei, warum drehen sie sich also?
Bei einer reibungsfreien Riemenscheibe hat das Lager in der Mitte keine Reibung. Die Rolle dreht sich frei, wenn sich das Seil um sie herum bewegt.
Wenn $M_2$ bewegt sich doppelt so weit wie $M_1$ , dann ist seine Geschwindigkeit doppelt so groß. Und so ist seine Beschleunigung.
Danke @mmesser314 . Wenn ich nehme $A_2 = 2A_1$ , dann finde ich die richtige Antwort dh $A_1$ = g/5 . Aber ich habe nicht verstanden, wie sich eine masselose, reibungsfreie Riemenscheibe drehen kann. Ich habe bei Google danach gesucht und den Link gefunden, der eindeutig besagt, dass "die (reibungslose) Riemenscheibe im Rotationsgleichgewicht ist" (dh die Riemenscheibe dreht sich nicht). Unter Link gibt es eine lange Diskussion zu diesem Thema, aber nachdem ich gelesen habe, dass ich keine Schlussfolgerung gezogen habe. ich suche noch...
... um eine anschauliche Erklärung zum Thema "masselose und reibungsfreie Riemenscheibe" zu erhalten.
Dabei spielt es keine Rolle, ob ein masseloses Seil reibungsfrei über eine nicht rotierende Rolle gleitet oder ob sich das Seil ohne Gleiten über eine frei drehende masselose Rolle bewegt. Sie können für dieses Problem beide Arten von idealisierten Riemenscheiben verwenden.
A2 = 2A1. Wenn Masse 2 um 2 cm abfällt, fällt Riemenscheibe 2 um 1 cm, nimmt links 1 cm Seil auf und lässt rechts 1 cm Seil heraus.

böser999mann · Answer 1

Von Anfang an beginnen. Warum Beziehungen einschränken? Warum sind die hier? Lassen Sie mich betonen:

Nehmen wir den Ursprung an der oberen Riemenscheibe, die sich in Ruhe befindet.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Beachten Sie, dass die Länge des oberen Seils konstant ist: $a+b=k\implies a''+b''=0 \implies a''=-b''$

Auch die Länge des zweiten Seils ist konstant: $(c-b)+(d-b)=k\implies c''+d''=2b''$

Beachten Sie, dass $d$ ist eine Konstante, da die obere Rolle und der Boden Ruhe sind: $c''=2b''$

Somit, $c''=-2a''$ wie in den Kommentaren angegeben.

Außerdem ist alles, was wir getan haben, sinnlos und der Block $M_2$ wird sehr schnell auf dem Boden aufschlagen.

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