Zeit, die ein Körper braucht, um in die Sonne zu stürzen [geschlossen]

Ein kleiner Körper startet von der Position der Erde aus von der Ruhe zur Sonne. Ermitteln Sie die Gesamtzeit, die der Körper benötigt, um gegen die Sonne zu prallen (angenommen, die Sonne ist ein Punktobjekt und es wirken keine anderen Kräfte auf das System).

Mein Ansatz zu dieser Frage:

  1. A = G M R 2 für den Körper in beliebiger Entfernung von der Sonne.
  2. Als nächstes fand ich Geschwindigkeit heraus, v = 2 G M ( 1 R − 1 R ) , wobei R der Anfangsabstand ist
  3. Von hier bekommen wir ∫ R 0 D X v

Wie integriere ich nun diese Monstrosität? Gibt es einen einfacheren und schnelleren Weg als den oben genannten? Jede Hilfe wäre willkommen.

Aber die Erde befindet sich sowieso im freien Fall in Richtung Sonne, sie hat gerade genug Tangentialgeschwindigkeit, um sie zu verfehlen und eine fast kreisförmige Umlaufbahn beizubehalten ... Sie müssten also Ihre Testmasse abbremsen?
Ich denke, dir fehlt ein Quadrat in deinem (1.).
Dies kann hilfreich sein: en.wikipedia.org/wiki/Radial_trajectory
@ CharlesTucker3 Ich habe dich nicht ganz klar verstanden, die Masse hat keine Anfangsgeschwindigkeit.
@Shadow Ah, diese Info verpasst, danke ...
@PM2Ring Danke, aber kannst du bitte zusammenfassen, es fällt mir schwer, irgendetwas darin zu verstehen
"Für alle Ellipsen mit einer gegebenen großen Halbachse ist die Umlaufzeit unabhängig von der Exzentrizität gleich." - en.wikipedia.org/wiki/Orbital_period
Benötigen Sie eine analytische Antwort oder reicht es aus, eine numerische Integration durchzuführen?
@CarlWitthoft Bitte geben Sie eine analytische Antwort.
Entschuldigung, ich stimme zu, dass die Wikipedia-Seite etwas verwirrend ist. Und Ihr Problem braucht keine allgemeine Lösung, weil Sie die Sonne als Punkt behandeln, also können Sie einfach die Quadratwürfelregel von Kepler verwenden, wie von gandalf61 erwähnt.
@shadow Ich bin schon lange aus der Schule, was bedeutet, dass ich keine Integrale mehr machen muss :-) .
@CarlWitthoft lol, kein Problem!

Antworten (2)

Dieses Problem wird normalerweise mit dem Dritten Gesetz von Kepler angegangen. Die Flugbahn dieses Objekts, das in die Sonne fällt, ist tatsächlich die „Hälfte“ einer entarteten Ellipse mit einer großen Halbachse gleich R/2.
Aus Keplers drittem Gesetz: A 3 T 2 = G M 4 π 2

T = 4 π 2 A 3 G M = π 2 R 3 2 G M
Das Ergebnis ist also:
Δ T = T 2 = π 2 R 3 2 G M
Soweit mir bekannt ist, ist es sehr schwierig, die Zeit zu finden, die ein Körper benötigt, um sich zwischen zwei beliebigen Positionen auf einer elliptischen Umlaufbahn zu bewegen (Sie müssten im Grunde die vom Körper überstrichene Fläche berechnen), also dieses Integral berechnen ist wohl aussichtslos.

Wow, das ist großartig, habe nie über diesen Ansatz nachgedacht, vielen Dank.
Ja, es ist ein ziemlich netter Hack, von dem ich durch ein IPhO-Problem erfahren habe (Frage 3 - IPhO 2012).
Beachten Sie, dass, wenn Sie Einheiten von au & Jahren verwenden, dann μ = G M = 4 π 2 .
Das Integral für den vollen 2D-Ellipsenfall ist in Bezug auf elementare Funktionen nicht auflösbar. Die radiale Flugbahn ist jedoch lösbar. Siehe Zeit als Funktion der Entfernung, Elliptische Flugbahn im Wikipedia-Artikel über die radiale Flugbahn, den ich zuvor verlinkt habe.
„Die Berechnung dieses Integrals ist wahrscheinlich aussichtslos“ ... außer dass wir bereits die Umlaufzeit eines Körpers auf einer elliptischen Umlaufbahn mit der gleichen großen Halbachse wie die Erdumlaufbahn kennen ...
Wahrscheinlich habe ich meine Antwort nicht klar genug formuliert. Ich bezog mich auf den allgemeinen Fall, dass uns nicht die Umlaufzeit interessiert, sondern die zeitliche Parametrisierung der Umlaufbahn. Zum Beispiel zu berechnen, wie lange es dauert, bis das Objekt von R auf R/6 fällt, ist nicht trivial.
Nun, jetzt frage ich mich, wie sich diese Antwort mit der von Wikipedia gestohlenen vergleicht, die nur Gm / r ^ 2 für zwei statische Körper betrachtet, dh keine Quergeschwindigkeit beim Start.
Nun, ich denke, diese Antwort ist ein Sonderfall, der zufällig eine schönere Lösung hat.
@gandalf Aber diese (degenerierte) Ellipse hat eine Hauptachse von 1 au, dh ihre große Halbachse ist 0,5 au. Und so ist die fallende Zeit 1 4 2 Jahr.
@PM2Ring Die vollständig entartete Ellipse (dh die radiale „Umlaufbahn“) erstreckt sich in gleicher Entfernung zur anderen Seite der Sonne, sodass ihre große Halbachse 1 au beträgt.
@ gandalf61 Nein, die Sonne muss ein Fokus der Ellipse sein. Und der Fokus einer extrem exzentrischen Ellipse liegt sehr nahe an der Periapsis, nicht nahe dem Mittelpunkt der Ellipse. Wenn Sie richtig wären, wäre die Fallzeit 0,25 Jahre, aber die Lösung, die durch die Methoden von S. Stefan und Carl gegeben wird, ist ~ 0,17677 Jahre.
@PM2Ring Verstanden - ja, du hast recht. Die große Halbachse ist 0,5 au. Es ist der Grenzfall einer sehr engen Sonnenbahn, die um die andere Seite der Sonne und wieder zurück peitscht.
@ gandalf61 Danke, ich hatte das gleiche Missverständnis.

Überraschung :-) , Wikipedia zur Rettung.

Die Zeit  T  angenommen, dass ein Gegenstand aus großer Höhe fällt  R  zu einer Höhe  X , gemessen von den Mittelpunkten der beiden Körper, ist gegeben durch:

T = arccos ⁡ ( X R ) + X R   ( 1 − X R ) 2 μ R 3 / 2
Wo  μ = G ( M 1 + M 2 )  ist die Summe der  Standardgravitationsparameter  der beiden Körper.

Ich bin froh, dass sie es getan haben; Ich würde es hassen, diese Stammfunktion selbst ausgearbeitet zu haben.

Warten Sie, erhalten Sie das, wenn Sie dieses Durcheinander (dh (3) meines Ansatzes) in einer allgemeineren Form integrieren?
@Schatten, ja. Schauen Sie sich die verlinkte Seite an
@PM2Ring Das würde Arbeit erfordern, und ich bin tödlich allergisch! Die Quelle der Wikipedia-Seite enthält möglicherweise den Mathjax-Code
@Shadow Dieses Integral ist ... unangenehm, obwohl Wolfram Alpha usw. es tun kann. Und es ist leicht genug, dies zu überprüfen, indem man die Ableitung bildet.
@Shadow Eigentlich ist das Integral nicht so schlimm, sobald Sie erkennen, dass es sich um eine trigonometrische Substitution handelt. Lassen X = R cos 2 ⁡ θ , und dann ist es ziemlich einfach, vorausgesetzt, Sie wissen, wie man integriert cos 2 ⁡ θ .
@CarlWitthoft Diese Antwort verlinkt auf ein Video, in dem die Stammfunktion Schritt für Schritt ausgearbeitet wurde. es sieht so aus, als hättest du eine weise Entscheidung getroffen!
Zeit, die ein Körper braucht, um in die Sonne zu stürzen [geschlossen]
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