Was ist falsch an meiner Berechnung des Gravitationspotentials für eine einheitliche Kugel?

Das ist wirklich peinlich, aber ich bin mir nicht ganz sicher, wo ich hier falsch liege ... Warum ist diese Berechnung des Gravitationspotentials innerhalb einer Kugel mit gleichmäßiger Massenverteilung falsch?

Aufstellen

Nehmen wir an, die Kugel hat Masse M und Radius R (und einheitliche Massendichte μ ), und was wir finden wollen, ist das Potenzial in jeder Entfernung R vom Mittelpunkt der Kugel, wo R < R . Wir normalisieren das Potential auf Null im Unendlichen.

Berechnung

Das Potenzial ϕ ( R ) ist gleich dem Potential direkt außerhalb der Kugel plus der Potentialdifferenz zwischen einem Punkt innerhalb der Kugel und einem Punkt direkt außerhalb.

ϕ ( R ) = ϕ 0 − ∫ R R μ G R D v

(Entschuldigung für die Verwendung R sowohl für die Obergrenze des Integrals als auch für die Variable im Integranden. Hoffentlich stiftet das keine Verwirrung.)

Nun, um die verschiedenen Aspekte der obigen Gleichungsgleichung herauszufinden. Das Potential direkt außerhalb der Kugel ist:

ϕ 0 = − M G R

Das Differenzvolumenelement kann ausgedrückt werden als die Oberfläche der Kugelschale mit konstantem Potential multipliziert mit der Differenzbreite der Schale:

D v = 4 π R 2 D R
Und ein letztes Detail, die Massendichte der Kugel:
μ = 3 M 4 π R 3

Anhand dieser Informationen

ϕ ( R ) = − M G R − 3 M G R 3 ∫ R R R D R

ϕ ( R ) = − M G R 3 [ R 2 + 3 R 2 2 − 3 R 2 2 ]

ϕ ( R ) = − M G 2 R 3 ( 3 R 2 − R 2 )

Abschluss

Dieses Ergebnis stimmt nicht mit einigen Orten überein, die ich besucht habe, wie diesem , der besagt, dass das korrekte Ergebnis (in Bezug auf die von mir verwendeten Variablen) ist

ϕ ( R ) = − M G 2 R 3 ( 3 R 2 − R 2 )

Beide Ergebnisse geben das gleiche Potential an R = R , offensichtlich, aber mein Ergebnis sieht für Werte wie lächerlich aus R = R / 2 .

Der einzige Teil meiner Berechnung, der mir skizzenhaft erscheint, ist die erste Gleichung, in der ich über die Potentialdifferenz an Punkten innerhalb und außerhalb der Kugel spreche; Ich weiß nicht, ob es richtig ist, durch zu dividieren R im Integranden ... Oder vielleicht habe ich nur irgendwo dort einen dummen Algebra-Fehler gemacht.

Was habe ich falsch gemacht?

Nur ein kleines Problem mit der Sprache, das Festlegen des Potenzials auf unendlich als Null ist keine Normalisierung, sondern nur das Festlegen der Randbedingungen. Es spiegelt einen Glauben wider.
Meine Vermutung wäre, dass Sie die Randbedingungen falsch verstanden haben.
Dein R ist nicht das, was du denkst. Um das Potenzial mit der von Ihnen verwendeten Integralmethode zu berechnen, R müsste der Abstand zwischen dem Quellpunkt und dem Beobachtungspunkt sein. Dein R ist der Abstand zwischen den Schalen , die enthalten R Und R . @AlphaCentauri hat den besten Rat.
Ja, danke Garyp, das fand ich in meiner Berechnung seltsam. Ich werde versuchen, es mit AlphaCentauris Rat zu beheben. Außerdem, Ignacio: In dem Buch, das ich gerade lese, hat der Autor diese Sprache verwendet, also denke ich, dass es in Ordnung ist, sie zu verwenden. Krismath, ich denke, das Problem ist, dass ich die Definition von Potenzial missbraucht habe, nicht etwas, das mit Randbedingungen zu tun hat.
Die korrekte Beschreibung und Lösung dieses Problems finden Sie im Dokument dieses Links (Seiten 34-35): http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm5.pdf
@Oscar Iglesias Clotas: Wie heißt ein Buch mit diesem Kapitel?

Antworten (2)

Ich stimme Qmechanic bezüglich des Kerns des Problems Ihrer Berechnung nicht zu, obwohl seine Informationen über Newtons Schalensatz korrekt sind.

Das Problem in Ihrer Berechnung liegt in Ihrer ersten Gleichung, die einfach falsch ist. Was Sie tun , ist gemäß Ihrer Gleichung, das Potenzial der Schale außerhalb irgendwie zu berechnen und zu subtrahieren R . So erhalten Sie jedoch nicht das Potenzial an der Stelle R .

Was Sie stattdessen tun sollten , ist die auf eine Testmasse wirkende Kraft zu integrieren M aus R Zu R :

Δ ϕ = ϕ ( R ) − ϕ ( R ) = − ∫ R R F G ( R ' ) M D R ' .
Hier muss man den zuvor erwähnten Umstand nutzen, dass nur die Masse drin ist R ' trägt bei zu F ( R ' ) . Wenn Sie dies tun, sollten Sie das richtige Ergebnis erhalten, das bereits in Ihrer Frage angegeben ist.

Hinweis: Das Problem in Kürze ist Newtons Schalensatz : Für eine gegebene radiale Position R nur weiter innen liegende Massenteile tragen zur Gravitationsbindung bei, während sich die Wirkungen von weiter außen liegenden Massenteilen aufgrund der Kugelsymmetrie aufheben.

Am sichersten ist es daher, die potentielle Energie aus dem Zentrum zu integrieren R = 0 und nach außen. Wenn man versucht, von außen und innen zu integrieren, ist es leicht, Effekte von weiter außen liegenden Masseteilen nicht richtig zu entfernen.

Was ist falsch an meiner Berechnung des Gravitationspotentials für eine einheitliche Kugel?
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