Statistische Physik: Wie finde ich die Anzahl der Teilchen, deren Energie über/unter einem Niveau liegt?

Angenommen, ich habe ein Gas, das aus Atomen oder Molekülen besteht. Wie finde ich die Anzahl der Atome in diesem Ensemble, die eine Energie über / unter einem bestimmten Betrag haben, sagen wir E? Ich meine, was ist die Funktion, die ich von 0 bis E oder E bis unendlich integrieren muss (wenn ich das tun muss), um den Prozentsatz der Teilchen in der Menge zu finden, die über einem Energieniveau liegen, in der Fall von mikrokanonischem, kanonischem und großkanonischem Ensemble? Ist es die Maxwell-Boltzmann-Verteilung zur Energie? Oder die Partitionsfunktion? Oder die Zustandsdichte als Funktion der Energie?

Danke :D

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Wenn Ihre Zustandsdichte ist D ( E ) und Sie haben eine Boltzmann-Energieverteilung D N = A exp ⁡ ( − E k T ) D E und eine Zahl N von Atomen/Molekülen, dann Ihre Gesamtzahl N bestimmt die Konstante A von N = A ∫ 0 ∞ D ( E ) exp ⁡ ( − E k T ) D E . Sie erhalten die Anzahl der Atome N 1 mit Energien bis zu E 1 durch das Integral

N 1 = A ∫ 0 E 1 D ( E ) exp ⁡ ( − E k T ) D E
und die Nummer N 2 von Atomen mit Energien oben E 1 durch das Integral
N 2 = A ∫ E 1 ∞ D ( E ) exp ⁡ ( − E k T ) D E

Ist die Konstante A die Zustandssumme? Und außerdem, wie mache ich ein bestimmtes und uneigentliches Gaußsches Integral wie dieses?
Muss ich sie auf Mathematica oder so setzen?
Sie können überlegen ∫ 0 ∞ D ( E ) exp ⁡ ( − E k T ) D E die Zustandssumme des kanikalen Ensembles sein. Keine Probleme mit Gaußschen Integralen! Sobald Sie die Zustandsdichte haben D ( E ) , zB bezogen auf die kinetischen Energiezustände eines idealen Gases, erhält man ein einfaches Integral mit Exponentialfaktor, das analytisch gelöst werden kann.
Nun, ich bin mir nicht sicher, aber wie löse ich so ein Gaußsches Integral von 0 bis unendlich? Ich meine, ich kann sehen, ob es
Ich habe versehentlich die Eingabetaste gedrückt :( Ich meine, ich weiß nicht, wie man ein Gaußsches Integral von E0 bis unendlich oder von 0 bis E0 so löst? Oder erhalten wir vielleicht ein anderes Integral? Ich habe versucht, eine Berechnung durchzuführen, aber ich komme immer zu a Gaußsches Integral...
Was bekommt man für die Zustandsdichte D ( E ) ?
Ich habe die Zustandsdichte eines freien Teilchens genommen:
2 v ( 2 M π ) 3 / 2 E π
Stimmt das für N Teilchen?
Die
E
In Kombination mit der exp-Funktion hinterlasse ich ein schwieriges Integral ...
Die Quadratwurzelabhängigkeit für die Zustandsdichte ist korrekt. Auch das m hoch 3/2. Aber die Planck-Konstante fehlt im Faktor. Das Integral mit der Quadratwurzel aus 0 Zu ∞ ist eine einfache numerische Zahl mit π resultierend aus einer Gammafunktion. Für die anderen Integrale habe ich (noch) keine einfache Antwort gefunden.
Statistische Physik: Wie finde ich die Anzahl der Teilchen, deren Energie über/unter einem Niveau liegt?
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