Was bedeutet es in diesem Lehrbuchauszug, durch die Entartung des Staates zu spalten?

Die Formeln in Griffiths sind korrekt, aber die Erklärung ist ziemlich ungeschickt, weil er die Ableitung im Grunde „umgekehrt“ gemacht hat. Der Einfachheit halber werde ich nur über den Fall der unterscheidbaren Teilchen sprechen, aber die anderen sind ähnlich.

Die Ableitung in Vorwärtsrichtung sieht so aus: Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist die Verteilung, die bei fester Energie die Entropie maximiert. Hier ist die Entropie definiert als

$$S \sim \sum p_i \log p_i$$ und das $p_i$sind die Besetzungswahrscheinlichkeiten jedes Zustands (nicht jedes Energieniveaus!). Wenn Sie die eingeschränkte Optimierung mit einer ähnlichen Methode wie Griffiths durchführen, kommen Sie zu Gleichung 5.103.

Nun hängt die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustands nur noch von seiner Energie ab. Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit der Besetzung eines Zustands bei einer bestimmten Energie liegt$p_n = 1/2$, und die Entartung ist$d_n = 10^6$. Dann nach dem Gesetz der großen Zahl die Gesamtbelegung$N_n$dieses gesamten Energieniveaus sehr nahe kommen wird$p_n d_n = (1/2) 10^6$. Die Belegung könnte sicherlich mehr oder weniger sein, aber die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird ihren Höhepunkt um diesen zentralen Wert herum haben.

Das einzige Problem bei diesem Ansatz ist, dass die Definition von$S$ist etwas unintuitiv. Stattdessen arbeitet Griffiths nur mit Belegungszahlen$N_n$, also kann er einfach "die Anzahl der Möglichkeiten zählen", um diese Zahlen zu erreichen, anstatt sich mit den Wahrscheinlichkeiten auseinanderzusetzen$p_n$. Dann nimmt er implizit das High$d_n$begrenzen, damit$N_n \approx p_n d_n$, und rechnet$p_n = N_n / d_n$.

Das Hoch$d_n$Grenze ist notwendig, damit die durch dieses Verhältnis geschätzte Wahrscheinlichkeit genau ist. Zum Beispiel, wenn$p_n = 2/3$Aber$d_n = 10$, könnte die wahrscheinlichste Belegungszahl sein$N_n = 7$. Dann würde die Division die Annäherung ergeben$p_n \approx 0.7$. Für unseren errechneten Wert von$p_n$um gut zu sein, müssen wir nehmen$d_n$zur Unendlichkeit.

Ein letzter schlammiger Punkt ist, dass Griffiths versehentlich die Wahrscheinlichkeiten nennt$p_n$„Die wahrscheinlichsten Belegungszahlen eines Bundeslandes“, auch wenn dies keinen Sinn macht, weil$p_n$ist nicht einmal eine ganze Zahl, sondern eine Wahrscheinlichkeit zwischen$0$Und$1$. Diese ungeschickte Formulierung ist darauf zurückzuführen, dass Griffiths die gesamte Wahrscheinlichkeitssprache zugunsten von Belegungszahlen unter den Teppich gekehrt hat, aber es ist einfach nicht richtig.