Stetige Funktion überschreitet die Grenze?

Lassen$X$sei ein topologischer Raum,$E\subset X$, Und$g:[a,b]\to X$ist eine stetige Funktion wo$g(a)\in int(E)$(innen) u$g(b)\in ext(E)$(Außen).

Das will ich beweisen$g([a,b])\cap\partial E\neq\emptyset$. (Wo$\partial E$ist die Grenze von$E$)

Das habe ich gemacht:

Vermuten$g([a,b])\cap\partial E=\emptyset$, Dann$f([a,b])\subset int(E)\cup ext(E)$, und deshalb$g^{-1}(int(E)\cup ext(E))=[a,b]$, Bedeutung$[a,b]=g^{-1}(int(E))\cup g^{-1}(ext(E))$, die Vereinigung zweier disjunkter offener Mengen (seit$f$ist stetig und$int(E)$Und$ext(E)$sind offen). Allerdings, weil$[a,b]$eine zusammenhängende Menge ist, ist dies widersprüchlich, und daher$g([a,b])\cap\partial E\neq\emptyset$.

Ich habe das Gefühl, etwas verpasst zu haben, ist das richtig?