Strenge Ableitung der Faradayschen Induktion

Nehmen wir also eine geschlossene Schleife, die eine Fläche umschließt$S$in der Flüssigkeit und sehen Sie, wie sich der magnetische Fluss durch diese Schleife ändert, wenn die Schleife von der Flüssigkeit mitgerissen wird. Über ein Zeitintervall$dt$,$S$bewegt sich eine Strecke$\vec{v} \cdot dt$und endet als$S'$. Die Änderung des Flusses ist

$$d\Phi=\int_{S'} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; - \int_{S} \vec{B}(t) \cdot d\vec{a} \;$$

Nun, da$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$immer können wir uns integrieren$\vec B(t+dt)$über die durch die drei Flächen gebildete geschlossene Fläche$-S$,$S'$Und$R$(die Fläche dazwischen$S$Und$S'$) zusammengenommen, dann verwenden Sie den Divergenzsatz (dies könnte die "Art von Stoke's Theorem" sein, an die Sie gedacht haben), um zu erhalten

$$\int_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{B}d^3\vec{r} \; = \int_{S'} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; + \int_{R} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; - \int_{S} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} = 0\;$$

($V$ist das von den drei Flächen umschlossene Volumen). Dann wird unsere vorhergehende Gleichung

$$d\Phi=\int_{S} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; - \int_{S} \vec{B}(t) \cdot d\vec{a} \; - \int_{R} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; = dt\int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{a} \; - \int_{R} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \;$$

Der Differentialbereich$d\vec{a}$ist ein durch ein Linienelement begrenztes Parallelogramm$d\vec{l}$um die Schleife$\partial S$und der Abstandsvektor$\vec{v} \cdot dt$, So

$$d\vec{a}=d\vec{l} \times \vec{v} \cdot dt$$

Das bedeutet, dass die Integration vorbei ist$d\vec{a}$entspricht dem Addieren dieser Flächenelemente, während wir uns um die Schleife bewegen. Das heißt, unser zweiter Begriff wird

$$\int_{R} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; = \oint_{\partial S} \vec{B} (t+dt) \cdot (d\vec{l} \times \vec{v} \cdot dt) = dt \oint_{\partial S} \vec{B} (t) \cdot (d\vec{l} \times \vec{v})$$

Wobei ich im letzten Schritt eine Annäherung erster Ordnung vorgenommen habe. Schließlich, nach einigen Absprachen, stellen wir den Ausdruck wieder her, nach dem Sie gefragt haben:

$$\frac{d}{dt}\Phi=\int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{a}\; + \oint_{\partial S} \vec{B} (t) \cdot (\vec{v} \times d\vec{l})$$

Interessanterweise, und da Sie gefragt haben, kann der Satz von Alfvén in Form von Materialkurven interpretiert werden, und die ideale Induktionsgleichung kann als Materialableitung geschrieben werden. Siehe diese Hinweise für weitere Details (Abschnitt 2.1: Physikalische Interpretation von MHD ). Beachten Sie auch die Ähnlichkeit zwischen Alfvéns und Kevins Zirkulationstheorem in der reibungsfreien Fluiddynamik.