SU(3)SU(3)SU(3) Tensormethoden in einem Tetraquark

Ich versuche, das Georgi-Kapitel der Tensormethoden in zu verstehen$SU(3)$Darstellungen, und ich weiß nicht, wie ich das Tensorprodukt von 2 Matrizen in einem 2 schweren Quark + 2 leichten Antiquarksystem auflösen soll. Nämlich:

Das Tetraquarksystem sei:$QQ\bar q\bar{q}$

Also, die$Q$schwere Quarks interagieren und können in der verstanden werden$3\bigotimes 3$Vertretungen für$SU(3)$, Und$\bar q\bar q$kann als verstanden werden$\bar 3\bigotimes\bar 3=3\bigoplus\bar 6$Vertretungen für$SU(3)$.

Das Wechselwirkungsdiagramm für die$Q$schwere Quarks ist im folgenden Schema dargestellt, das eine Analogie zum Feynman-Diagramm darstellt, in dem ein Gluon zwischen den oberen und unteren Pfeilen ausgetauscht wird:

$i'\xrightarrow{(T_{a})^{i'}_{i}}i , {}^iQ$

$j'\xrightarrow{(T_{a})^{j'}_{j}}j , {}^jQ$

Wie üblich betrachten wir also die Elemente von$3$Vertretung als$u^i$, und damit die Elemente von$\bar 3$Vertretung als$v_{j}$.

Ich muss verstehen, wie sich der folgende Ausdruck transformiert:

$(T_{a})^{i'}_{i}(T_{a})^{j'}_{j}\cdot(1/2)\cdot (w^iv^j+w^jv^i)=\Xi\cdot(1/2)\cdot(w^{i'}v^{j'}+w^{j'}v^{i'})$

Mit anderen Worten, wie kann man den korrekten Wert von angeben$\Xi$?

Anmerkung 1:$T_a$versteht sich als die$a-ith$Generator der zugehörigen Lie-Algebra, die aus der Definition der Gell-Mann-Matrizen stammen.

$(T_{a})^{i}_{j}\propto(\lambda)_{ij}$, in Matrixschreibweise.

Anmerkung 2: Ich verstehe die Young Tableaux und sie sollen hier nicht verwendet werden, also versuchen Sie bitte nicht, diese Situation durch die Tabellen zu erklären.

Bitten Sie auch um Informationen darüber, wie die Tensorprodukte in diesen Fällen zu verstehen sind, da ich viele Quellen überprüft habe, aber die Definitionen nicht klar genug zu sein scheinen.