Theorie hinter dem Zusammenhang zwischen der Masse eines Zylinders und der Zeit, die er braucht, um eine Steigung hinunterzurollen - Luftwiderstand?

Die wahrscheinlichste Erklärung für die Variation der Sinkzeit ist das sich ändernde Trägheitsmoment (MI) des Zylinders. MI ändert sich, weil sich die Massenverteilung um die Achse des Zylinders ändert.

Der Luftwiderstand wird häufig als Erklärung für Unstimmigkeiten in schulischen Mechanikexperimenten angeboten, ist aber selten angemessen. Siehe meine Antwort auf Luftwiderstand für praktische Zwecke?

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Die Beschleunigung die Steigung hinunter beträgt [1]

$$a=\frac{g\sin\theta}{1+k}$$ wo das MI etwa in der Mitte ist $I=kMR^2$. Die Beschleunigung ist konstant, so dass die Entfernung und die Zeit entlang der Steigung zusammenhängen $s=\frac12 at^2$. Daher für eine feste Länge und einen festen Neigungswinkel $t^2$sollte proportional sein $1+k$.

Die Masse des leeren Zylinders verteilt sich hauptsächlich am Rand. Für einen solchen Hohlzylinder ist der MI$MR^2$So$k=1$. Für einen Vollzylinder mit gleichmäßiger Dichte ist der MI$\frac12 MR^2$So$k=\frac12$. Das Verhältnis der Abstiegszeiten sollte sein$\sqrt{\frac{1+1}{1+\frac12}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=1.1547$.

Unter Verwendung Ihrer Zahlen und unter der Annahme, dass der leichteste Zylinder sich einer zylindrischen Hülle annähert, während der schwerste sich einem festen Zylinder mit demselben Radius annähert, lautet dieses Verhältnis$\frac{2.119}{1.835}=1.15468$. Dies kommt der Vorhersage peinlich nahe und bestätigt (glaube ich), dass diese Erklärung höchstwahrscheinlich die richtige ist. Zur Erklärung braucht man sich weder auf den Luftwiderstand noch auf den Rollwiderstand zu berufen.

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Für eine gründlichere Analyse Ihrer Daten,$k$muss mit der Massenverteilung im Zylinder zusammenhängen.

Unter der Annahme, dass der leere Zylinder keine Enden hat, ist sein MI [2]$\frac12 m (R^2+r^2)$Wo$R, r$sind Außen- und Innenradien. Der MI der Füllung ist$\frac12 (M-m) r^2$Wo$M, m$sind Gesamtmasse und Masse des leeren Zylinders. So ist der Gesamt-MI des gefüllten Zylinders
$kMR^2=\frac12 m (R^2+r^2)+\frac12 (M-m) r^2$
$k=\frac12 \mu (1+\rho^2)+\frac12 (1-\mu) \rho^2=\frac12(\mu+\rho^2)$
Wo$\mu=m/M$Und$\rho=r/R$.

Das solltest du finden$t^2=\frac{L}{g\sin\theta}(2+\rho^2+\mu)$Wo$L$ist die zurückgelegte Strecke entlang der Steigung.

Unter Verwendung Ihrer Daten habe ich das folgende Diagramm gezeichnet$t^2$vs$\mu=m/M$, zusammen mit einer Trendlinie, aber Sie könnten die Werte in Ihrem Experiment verwenden$(L, R, r, \theta)$um die vorhergesagte Variation zu zeichnen. Beachten Sie, dass die Datenpunkte im Vergleich zu Ihrer Liste in umgekehrter Reihenfolge sind. Der Datenpunkt für eine Masse von 0,196 kg

$(\mu \approx 0.37)$ist ein offensichtlicher Kandidat für eine Untersuchung. Meine Vermutung ist, dass dies die Körner sein könnten. Diese würden wie eine Flüssigkeit dazu neigen, ihre Position beizubehalten, während sich der Zylindermantel um sie dreht. Tatsächlich gleiten die Körner in der Schale, anstatt die Steigung hinunterzurollen; nur die Schale dreht sich. Dadurch verkürzt sich die Abstiegszeit.

Die gemessene Sinkzeit ist höher als meine Vorhersage, wenn die Masse der Füllung klein ist$(\mu \ll 1)$. Möglicherweise könnte dies erklärt werden, wenn der Behälter Kartonenden hat.

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[1] http://www.phys.ufl.edu/courses/phy2053/spring12/lectures/PHY2053_03-15-12.pdf , Folie 6.
[2] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu /hbase/ihoop.html

Ich ging weiter und fand die Bewegungsgleichung eines Zylinders, der eine Rampe hinunterrollt, wobei die Rollreibung vernachlässigt wird$^1$aber einschließlich quadratischem Widerstand. Quadratischer Widerstand bedeutet, dass die Widerstandskraft proportional zu ist$v^2$. Die Bewegungsgleichung lautet wie folgt, wobei$x$stellt die Gesamtstrecke dar, die die Rampe hinab zurückgelegt wurde:

$$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}-\frac{\rho A C_d}{m}\dot{x}$$

Ich fand den ersten Begriff in der Lagrange-Mechanik, Einstellung

$$T=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega ^2$$ $$V=-mgx\sin{\theta}$$

Für einen Zylinder$I=\frac{1}{2}mr^2$Und$\omega = \frac{v}{r}$.

Lösen der Lagrange-Gleichung

$$\frac{d}{dt} ( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}})= \frac{\partial L}{\partial x}$$

gibt

$$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}.$$

Als nächstes habe ich einfach den quadratischen Widerstandsterm eingefügt$F_d=\frac{1}{2}\rho v^2 C_d A$, und dividiert durch die Masse via$F=ma$.

Seit$v^2=\dot{x}^2$, wir können das in die Gleichungen einsetzen. Die restlichen Terme hängen nicht von der Masse ab ($A$bezieht sich auf die Masse via$\rho_{cylinder}$, aber die$\rho$in der Gleichung ist$\rho_{air}$)

Lösen dieser Differentialgleichung, Einstellung$a=\frac{2}{3}g\sin{\theta}$Und$b=\rho A C_d$, wir bekommen

$$x=\frac{a}{b}mt+\frac{c_1 m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}+c_2.$$

Mit dieser Gleichung und Einstellung$x(0)=\dot{x}(0)=0$(seit$x$ist die Strecke, die die Rampe hinuntergerollt ist), können wir erhalten

$$c_1=\frac{a}{b}m$$ $$c_2=-\frac{am^2}{b^2}$$

was uns eine endgültige Gleichung von gibt

$$x=\frac{a}{b}mt+\frac{a m^2}{b^2}e^{\frac{-bt}{m}}-\frac{am^2}{b^2}.$$

Dies ist sehr schwierig, wenn nicht unmöglich, empirisch zu lösen$t(m)^2$, also habe ich es stattdessen einfach in Desmos für beliebige Werte von grafisch dargestellt$x$,$a$Und$b$, nur um die Abhängigkeit von zu sehen$t$An$m$.

Dies ist die Abhängigkeit, die ich gefunden habe und die sehr gut zu Ihrer Abhängigkeit zu passen scheint! Eingeschlossen sind Residuen, obwohl ich die Fehlerbalken nicht eingeschlossen habe.

Und hier ist der Link, um selbst damit zu spielen: https://www.desmos.com/calculator/akux3vsubk

Ich hoffe, das hilft / beantwortet Ihre Frage!

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$^1$Wenn die Rollreibung eingeschlossen ist, wird sie einfach in den absorbiert$a$Term, da er von der Masse abhängt, und so hebt sich die Masse auf, wenn Beschleunigung gefunden wird.

$^2$Wenn wir a=b=x=1 setzen, können wir auflösen$t(m)$und erhalten (über Wolfram Alpha)

$$t=\frac{m^2 W(-e^{-1-\frac{1}{m^2}})+m^2+1}{m}$$

Wo$W(x)$ist die Produktprotokollfunktion oder Lambert-W-Funktion, die die Umkehrung von angibt$f(z)=ze^z$