Tonleiterfamilien: Heptatonische Tonleitern, die in ihrer Intervallschreibweise in Halbtonschritten organisiert sind

Betrachten Sie eine Note als eine Sammlung von Frequenzen, einen Modus als eine Sammlung von sieben Noten und eine Tonleiter als eine Sammlung von sieben Modi. Daher ist C eine Sammlung von Frequenzen, CDEFGAB eine Sammlung von Noten, der ionische Modus und seine sieben zyklischen Permutationen bilden eine Sammlung, die als Dur-Tonleiter bezeichnet wird.

Stellen Sie sich nun eine Tonleiterfamilie als eine Sammlung von Tonleitern vor, die in ihrer Schreibweise die gleiche Anzahl von Halbtonschritten haben. Unter Verwendung dieser Definition erhalten wir die folgenden Familien:

  • Step-Scale (3 Mitglieder): zwei m2 und fünf M2.
  • Skip-Scale (20 Mitglieder): drei m2 , drei M2 und ein m3.
  • Double-Skip-Scale (15 Mitglieder): vier m2 , ein M2 und zwei m3.

Das sind also die 38 Tonleitern und 266 Modi, die durch die Verwendung von m3 aufwärts in ihrer Intervallschreibweise aufgebaut werden können. Mit dieser Methode können Sie jedoch problemlos andere Familien mit größeren Intervallen als einem m3 erweitern:

  • Major-Four-Step-Scale (15 Mitglieder): vier m2 , zwei M2 und eine M3.
  • Major-Five-Step-Scale (6 Mitglieder): fünf m2 , ein m3 und ein M3.
  • Tritone-Scale (1 Mitglied): sechs m2 und ein TT.

Und obwohl es nicht heptatonisch ist, müssen wir es einschließen, um alle möglichen halbschrittigen Schreibweisen zu vervollständigen

  • Dodecaton-Scale (1 Glied): zwölf m2 .

Somit beträgt die Gesamtzahl möglicher heptatonische Skalen 60, die insgesamt 420 Moden umfassen.

Kann jemand diese Ergebnisse für mich überprüfen und mich idealerweise auf eine Zeitschrift oder ein Buch verweisen, das Skalen nach ähnlichen Prinzipien organisiert hat, dh Skalenfamilien eingerichtet hat, auch wenn sie nicht so heißen?

müsste die Kombination, die Sie Skip-Scale nennen, nicht drei m2, drei M2 und ein m3 sein , um 12 Halbtöne hinzuzufügen?
und warum heptatonische und dodekatonische Kombinationen in Betracht ziehen, aber keine Zwischenzahl von Noten (z. B. oktatonisch - 4 m2 und 4 M2 usw.)?
Vielen Dank, dass Sie das bemerkt haben; Fest. Ich arbeite aus einer gruppentheoretischen Perspektive. Darin ist die Dodekatonik die Elterntonleiter und die Heptatonik die Kindertonleiter; oktotonische und andere -tonische Tonleitern sind "Cousins", aber nicht Teil dieser "geneologischen" Untersuchung

Antworten (2)

Ich fühle mich nicht wohl dabei, die Ergebnisse zu verifizieren, nur weil ich als Mathematiker nicht so gut ausgebildet bin und ich mich wohler fühlen würde, diesen Weg zu gehen, um etwas mit so vielen Permutationen zu verifizieren.

Hier sind jedoch einige großartige Quellen auf dem Gebiet der Musiktheorie, die Sie sich ansehen sollten:

  • Carey, Norman und Clampitt, David (1989). "Aspekte wohlgeformter Tonleitern", Music Theory Spectrum 29: 249-70.
  • Clough, John (1979). "Aspekte diatonischer Sätze", Journal of Music Theory 23: 45–61.
  • Clough, John und Douthett, Jack (1991). "Maximal gleichmäßige Sätze", Journal of Music Theory 35: 93-173.
  • Rahn, Jay (1977), „Some Recurrent Features of Scales“, In Theory Only 2, No. 11-12: 43-52.

Dies sind alles notwendige Lektüren für das Studium der Skalentheorie. (Ich empfehle, mit dem wahrscheinlich berühmtesten Artikel von Clough/Douthett aus dem Jahr 1991 zu beginnen.) Sie sollten sich auch mit Konzepten wie der Myhill-Eigenschaft , der Deep-Scale-Eigenschaft und der Vorstellung, dass Kardinalität gleich Varietät ist, vertraut machen .

Spaß haben!

Danke Richard. Ich kenne alle diese Werke. "Meine" Familien basieren weder auf einer mengentheoretischen Eigenschaft, noch ist es beabsichtigt, jede mögliche Kombination von Noten zu katalogisieren; sie katalogisieren nur die möglichen Kombinationen von sieben Intervallen, die sich zu 12 Halbschritten summieren. Ein bemerkenswertes Merkmal von „meiner“ Hierarchie ist, dass sie 2212221 an einem Ende des Spektrums und 611111 am anderen anordnet; Wenn es ähnliche Hierarchien gäbe, hätten sie ähnliche Endpunkte, und ich habe sie noch nicht gefunden. Aber ich würde es hassen, "meine" Hierarchie zu würdigen, wenn sie tatsächlich schon einmal so organisiert war.
@RicardoJRademacher Verstanden; hört sich nach einem interessanten Projekt an! Mir fallen keine Systeme wie das von Ihnen beschriebene ein, aber vielleicht möchten Sie sich Howard Hansons Begriff der "chemischen Analyse" aus seinen Harmonic Materials of Modern Music von 1960 ansehen. Er befasst sich mit Akkorden, nicht mit Tonleitern, aber es ist ein vage ähnlicher Ansatz. (Ich erwähne es nur als etwas, dessen Sie sich bewusst sein sollten, nicht weil es sich mit Ihrer Arbeit überschneidet.)
Fantastische Beratung, danke! Ich schaue mir Hanson genauer an (war ihm nicht oft begegnet), aber wie andere teilen sie die Philosophie, nicht-heptatonische Skalen in ihr Organisationsmodell aufzunehmen, wobei ich mich ausschließlich auf heptatonische Skalen aus dodekatonischen Skalen konzentriere.
Während sich das oben Gesagte auf die Anzahl und den Wert jedes Intervalls in ihrer Schreibweise bezieht, wurde nicht angegeben, wie diese Intervalle organisiert sind. Dadurch werden „Unterfamilien“ gebildet. So haben zum Beispiel die Skip-Skalen 20 Mitglieder. Aber dies organisiert sich in 4 Unterfamilien und, hier ist der interessante Teil, wir scheinen in der konventionellen westlichen Musik nur EINE Tonleiter aus jeder Unterfamilie ausgewählt zu haben und den Rest zu ignorieren! Diese Unterfamilien sind: Harmonic Minor (6 Mitglieder), Harmonic Major (6 Mitglieder), Neapolitan Minor (6 Mitglieder) und Hungarian Major (2 Mitglieder).

Ich interessiere mich seit kurzem auch für die Anzahl verschiedener heptatonische Skalen und deren Klassifizierung.

Anscheinend fehlt Ihnen eine Familie mit 5 m2, einer M2 und einer P4 (perfekte vierte) Familie mit 6 Mitgliedern. Dies ergibt insgesamt 66 heptatonische Skalen.

Das obige Ergebnis kann mit etwas Kombinatorik verifiziert werden. Die Überlegung könnte so lauten: Es gibt 12!/(5!7!) = 792 Möglichkeiten, 7 Noten aus 12 chromatischen Tonleitern auszuwählen. Natürlich sind einige davon bis zur zyklischen Permutation gleich. Tatsächlich bildet die zyklische Permutation zu 1, 2, ..., 12 Positionen einer bestimmten Auswahl eine Sammlung der Länge 12 (es kann bewiesen werden, dass alle zyklischen Permutationen einer beliebigen Auswahl voneinander verschieden sind, da 7 und 12 teilerfremd sind). Diese 792 Wege zerfallen also in 792/12 = 66 Sammlungen.

Tonleiterfamilien: Heptatonische Tonleitern, die in ihrer Intervallschreibweise in Halbtonschritten organisiert sind
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