Wie können wir mathematische Permutationen mit Musik in Beziehung setzen?

Sie können sicherlich Permutationen in der Musik in Betracht ziehen. Es gibt einen Zweig der Musiktheorie namens Neo-Riemannsche Theorie , der sich mit dem beschäftigt, was wir „sparsame Stimmführung“ nennen. ("Sparsam" bedeutet im Grunde "am effizientesten".)

Nehmen wir an, wir haben einen C-Dur-Dreiklang, der sich zu einem a-Moll-Dreiklang bewegt. Hier ist ein Weg:

G  E  (down three semitones)
E  C  (down four semitones)
C  A  (down three semitones)

Zwischen diesen beiden Grundton-Dreiklängen haben wir also eine Nettobewegung von 10 Halbtönen (!). Kaum sparsam. Gehen wir also stattdessen zu einem a-Moll-Dreiklang in erster Umkehrung!

G  E  (down three semitones)
E  A  (down seven semitones, or up five)
C  C  (no movement!)

Dies ist in gewisser Weise tatsächlich äquivalent; bewegt sich das E nach unten zum A, haben wir wieder eine Nettobewegung von 10 Halbtönen. Selbst wenn sich das E nach oben bewegt, sehen wir insgesamt 8 durchlaufene Halbtöne.

Hier kommen also die Permutationen ins Spiel, denn wenn wir den a-Moll-Dreiklang der ersten Umkehrung als klären C E A, erhalten wir:

G  A  (up two semitones)
E  E  (no movement!)
C  C  (no movement!)

Hier bewegt sich nur eine Stimme, und zwar nur um zwei Halbtöne!

Wenn Sie wirklich an dem Artikel interessiert sind, der dieses Konzept behandelt, können Sie hier darauf zugreifen .

Es gibt hier einen weiteren kürzlich erschienenen Artikel , der ein Tutorial zur Kombinatorik in der Musik ist und andere Möglichkeiten erörtert, wie dies hilfreich sein kann.

Während ich sowohl Mathematik als auch Musik an der Universität studiere, habe ich mir sehr ähnliche Fragen gestellt - tatsächlich habe ich bei der Suche nach einem Thema für meine Bachelorarbeit in Mathematik aktiv nach Literatur gesucht, die in diese Richtung geht.

Um es kurz zu machen, ich habe nichts Nützliches gefunden.

Da Musik nicht völlig zufällig ist, werden sich natürlich einige Muster abzeichnen, und da große Teile der Mathematik (z. B. Algebra) erfunden wurden, um Muster zu beschreiben , werden Sie einige Anwendungen für Mathematik finden. Und es gibt eine Menge Bücher/Artikel, die genau das tun. Sie können Intervallsprünge ganz einfach als Operationen auf einem Satz von 12 Halbtönen definieren, stolz darauf sein, dass Sie selbst eine sogenannte Gruppe haben, und dann gehen Sie zu vielen netten kleinen Theoremen darüber, was Sie normalerweise tun würden, und packen sie in nette kleine "Theoreme". Die Sache ist, nach dem, was ich bisher gelesen habe, hat das nicht viel mit Mathematik an sich zu tun, sondern eher mit dem, was man als gesunden musikalischen Menschenverstand bezeichnen könnte. Nur unnötig kompliziert mit einigen grundlegenden mathematischen Notationen beschrieben.

Wenn Sie zum Beispiel eine Progression von einem Akkord zum anderen haben, die beide eine gemeinsame Note haben, dann ist es nicht so weit hergeholt, diese Note gleich zu lassen und die anderen zu ändern. Natürlich könnte man, wenn man möchte, auch eine Art Funktion auf dem Akkordsatz definieren, die man dann zu minimieren versucht, und erst dann feststellen, dass man nicht wahllos auf der Tastatur herumspringen sollte – aber ich verstehe nicht ganz der Punkt dort. Der Einsatz von Mathematik macht dies nicht einfacher. Ich merke nur, das ist eigentlich genau das, was Richard in seiner Antwort erwähnt - also, wie gesagt, ja, es gibt diese Art von Theorie, ich halte sie nur nicht für besonders nützlich.

Das Gleiche gilt für Permutationen im Sinne, wie viele/welche Kombinationen es gibt. Es ist beispielsweise nicht so schwer, die Anzahl der Melodien zu zählen, die Sie mit einer bestimmten Anzahl von Noten, rhythmischen Werten, Artikulationen, Dynamik usw. erstellen können. Aber wenn Sie nicht zu Hardcore-Serienmusik gehen, wo diese Muster manchmal wirklich nur mechanisch angewendet wurden, hilft Ihnen das musikalisch gesehen nicht wirklich weiter. (Okay, hinter serieller Musik steckt noch ein bisschen mehr. Aber es wäre die grobe Grundidee.) Natürlich kann man auch immer nur die Möglichkeiten für etwas zählen, ohne es in ein Stück einzubauen, aber mal ehrlich, was ist das musikalischer Punkt dort? Ignoriere für einen Moment, dass du vielleicht nur neugierig bist. Natürlich könnten Sie die Anzahl der möglichen Fingerkombinationen (innerhalb der physischen Grenzen) auf Ihrer Gitarre zählen, üben Sie alle, dann üben Sie alle Verbindungen zwischen allen Möglichkeiten, und wenn Sie das in beliebiger Geschwindigkeit tun können, könnten Sie theoretisch alle Stücke spielen. Aber Sie werden feststellen, dass es viele Bücher mit technischen Übungen gibt, die das gleiche tun, basierend auf Erfahrung, nachdem Sie bereits Akkorde aussortiert haben, die Sie häufig oder fast nie benötigen.

Da Sie gerade die Infinitesimalrechnung angesprochen haben, möchte ich hinzufügen, dass Infinitesimalrechnung etwas ist, wo mir spontan keine Anwendung in der Musik einfiel, oder nur, wenn Sie den Umweg über die Physik nehmen. Infinitesimalrechnung arbeitet per Definition mit Grenzen, meist durch Differenzieren und Integrieren, und da die Anzahl der Noten meist als diskret angenommen wird, wie auch der Rhythmus, scheint die Infinitesimalrechnung sehr fehl am Platz zu sein. Sicher, Sie könnten es in eine Komposition einbauen, aber das wäre wahrscheinlich etwas sehr modern klingendes und ein Stück, in dem Sie Kalkül um des Kalküls willen verwenden und nicht um der daraus resultierenden Musik willen.

Wenn Sie fragen, ob Sie "einige Konzepte mathematisch fundieren" können, ist das tatsächlich etwas schwierig. In gewisser Weise ja, das kannst du. Um irgendetwas mathematisch zu untermauern, braucht man zunächst einige Grundregeln, einige Dinge, die so grundlegend sind, dass man sie einfach als wahr definiert. Diese werden als Axiome bezeichnet - ein Axiom, das zum Beispiel zur Bildung der natürlichen Zahlen (1,2,3,...) verwendet wird, lautet "Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger." Wenn Sie davon ausgehen, dass dies nicht zutrifft, macht es keinen Sinn mehr, über natürliche Zahlen zu sprechen, da diese Aussage ein wesentlicher Bestandteil des eigentlichen Konzepts dessen ist, was eine Zahl ist. Nun, Sie würden die gleichen Dinge für Musik brauchen - das Problem ist, was würden Sie dafür verwenden?

Natürlich könnten Sie einige Grundlagen, beispielsweise über Akkordfolgen, anwenden. Wenn beispielsweise ein Akkord auf einen anderen folgt und einige Noten in beiden vorkommen, werden Sie nicht herumspringen, sondern sie einfach weiterlaufen lassen. Wie es in der meisten klassischen Musik üblich ist - das Problem ist nur, dass es Ausnahmen gibt. Und eine mathematische Theorie geht von Natur aus davon aus, dass alle Ihre Axiome immer wahr sind . (Falls Sie davon gehört haben, lassen Sie mich hier alle Unvollständigkeitstheoreme weglassen. Sie existieren, spielen aber auf der Ebene, auf der wir uns befinden, keine Rolle.)

Dann müssten Sie Ihre Ausnahmen auf die gleiche Ebene der Axiome stellen, die Sie bereits hatten - da sie sonst in direktem Widerspruch zu diesen stehen würden - im Sinne von "Aussage A ist nur wahr, wenn Fall B nicht zutrifft". was irgendwie hässlich ist, wenn man bedenkt, dass sie die grundlegendsten, grundlegendsten Fragmente sind, auf denen Ihr musiktheoretisches Konstrukt aufbaut. Und wenn Ihnen Ihre Axiome bereits alles im Detail sagen, was Sie über Musiktheorie wissen müssen, dann macht es nicht viel Sinn, eine Theorie darum herum aufzubauen, oder?

Auch wenn Sie das immer noch tun könnten, unterscheidet es sich wirklich stark von den allgemeinen Regeln der Musiktheorie? Oder genauer gesagt, gewinnen Sie einen zusätzlichen Vorteil? Da viele Theorien auf „wir machen das, weil es gut klingt“ aufgebaut sind und vieles, was wir für gut klingen, davon abhängt, was wir zu hören gewohnt sind, bin ich mir nicht sicher, ob ich versuche, etwas Allgemeines zu finden zugrunde liegenden mathematischen Regeln ist der richtige Weg. Wenn Sie das wirklich wollten, müssten Sie sich mehr mit der Psychologie des Musikhörens befassen, was wir normalerweise als angenehm empfinden und warum. Aber das ist etwas, womit ich nicht sehr vertraut wäre.

TLDR; Sie können Mathematik verwenden, um einiges von dem zu beschreiben, was in der Musik vor sich geht. Aber das liegt meiner Meinung nach nicht an einer inhärenten Ähnlichkeit von Musik mit Mathematik oder an einer geschickt versteckten Logik in der Musik, sondern daran, dass ein großer Teil der Mathematik geschaffen wurde , um Dinge zu beschreiben, und ich finde es nicht besonders hilfreich.

Richard hat die Antwort geschrieben, die ich lieber lesen würde. Es scheint, als würden wir hier eine Diskussion über Mathematik und Musik führen, Streitigkeiten darüber, ob die Verbindung zwischen diesen beiden Wissensgebieten für die Musik von Vorteil ist.

Ich habe immer den Spruch gehört: „Musik ist Mathe“. Ich habe auch über die Anwendungen von Fibonacci-Folgen in Harmony gelesen (wenn ich mich nicht irre), und war wieder neugierig. Ich denke auch, dass Permutationen helfen können, ein besseres „Hanon“ für die Gitarre zu schreiben, ein „Hanon“ erfordert Erfahrung, kann aber auch die völlige Freiheit suchen, musikalische Ideen auf dem Instrument zu spielen, die nicht davon abhängig sind, was auf dem Griffbrett natürlicher zu spielen ist das Instrument. Sogar einfache Konzepte wie "gerade und ungerade" können beim Gitarrenpicking nützlich erscheinen. Daher finde ich es nützlich, einige mathematische Konzepte in der Musik auf viele Arten anzuwenden, von den einfachsten bis zu den komplizierteren.

Ich bin ein Anfänger, stimmt, aber ich möchte auf alle "Tasten, die sich öffnen" in der Musik achten. Können Sie sich vorstellen, wie der Klang von "Zufälligkeit" ist? Oder können wir musikalisch Spiralen in die harmonische Bewegung „zeichnen“? Gibt es eine imaginäre Verbindung zur Geometrie? Ich weiß, dass es ein Buch von einem Mönch mit dem Titel Symmetrische Harmonie gibt ... ist Symmetrie nicht ein Konzept aus der Geometrie? Wenn wir alle denselben Pfaden folgen würden, wäre Musik langweilig, aber Musik ist nicht unbedingt langweilig, wenn wir versuchen, etwas Mathematik anzuwenden, wenn wir sie in der „ Palette “ oder in der „Tüte der Kompositionstechniken“ haben. Mathematik „tötet“ Emotionen nicht, glaube ich.

Deshalb habe ich so grundlegende Fragen zu Permutationen und mathematischer Anwendung in der Musik. Wenn Calculus das Studium von "Änderungen und Variationen" ist, könnte eine Grenze sogar eine Saitenbiegung oder ein Gleiten des Griffbretts oder einen Effekt in der Wham-Bar ausdrücken, wenn wir modellieren. Das ist nicht besonders Musik, aber in anderen Situationen können Konzepte näher sein, und zum Schluss: Kalkül beinhaltet Arithmetik, verwenden Sie nicht etwas Arithmetik in der Musik?

(Entschuldigung für eventuelle Grammatikfehler oder falsche Rechtschreibung)

Eines der Dinge, die Mathematiker verwirren, wenn sie Musik lernen, ist, dass die Zahlen, die zur Beschreibung vieler Dinge in der Musik verwendet werden, NICHT so verwendet werden, wie ein Mathematiker sie verwenden würde. Zum Beispiel wird eine Note, die genau sieben Notennamen höher ist als eine andere Note, als Oktave bezeichnet. Da Oktave acht bedeutet, ergibt dies für den Mathematiker keinen Sinn. Das gleiche Prinzip gilt für alle anderen Intervalle.

Dieser grundlegende Unterschied zwischen den beiden Bereichen müsste bei JEDEM Versuch berücksichtigt werden, die beiden auf vernünftige Weise in Beziehung zu setzen.