Topologischer Massenerzeugungsmechanismus

Die topologische Massenerzeugung ist ein Phänomen in 2+1-Dimensionen, das entdeckt wurde von: Deser, Jackiw und Templeton , bei dem Yang Mills-Felder eine Masse in 2+1-Dimensionen erhalten, ohne die Eichinvarianz zu brechen, wenn ein Chern-Simons-Term in die aufgenommen wird Aktion. (Bitte beachten Sie eine neuere Rezension von Roman Jackiw). Für die Maxwell-Theorie hat die Aktion die Form

$$S = S_{M}+S_{CS} = \int d^3x \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - m \int d^3x \frac{1}{4}\epsilon^{\mu\nu\rho}A_{\mu}F_{\nu\rho}$$

Die Feldgleichungen beschreiben ein massives Eichfeld, ohne Eich-Nichtinvariante zu sein.

$$\partial_{\mu} F^{\mu\nu} + m \epsilon^{\mu\nu\rho}F_{\nu\rho} =0$$

Das Maxwell (oder allgemeiner Yang-Mills)-Chern Simons verletzt die Parität aufgrund des antisymmetrischen Tensors. Die Lagrange-Funktion ändert sich durch eine totale Ableitung unter einer Eichtransformation:

$$\delta \mathcal{L} \propto \frac{m}{4}\partial{\mu}(\epsilon^{\mu\nu\rho}F_{\nu\rho})$$

Was zur Quantisierung der topologischen Masse im Nicht-Abelschen Fall auf einer kompakten Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit führt. (Durch einen ähnlichen Mechanismus wie die Dirac-Quantisierungsbedingung für die magnetische Ladung).

Bei niedriger Energie dominiert der Massenterm und dieses Modell mit Quellen beschreibt den ganzzahligen Hall-Effekt.

Topologische Massenerzeugungsmodelle in 3+1-Dimensionen wurden vorgeschlagen (siehe zum Beispiel den folgenden Artikel von Savvidy), aber sie werden nicht als attraktiv angesehen, da sie die Einbeziehung zusätzlicher Tensorfelder erfordern. Sie scheinen für das Standardmodell nicht direkt relevant zu sein .

Wir können jedoch eine Higgs-Aktion in 2+1-Dimensionen hinzufügen

$$S_{H}= \int d^3x \big ( D_{\mu}{\Phi}D^{\mu}{\Phi} + \frac{\lambda}{4}(|\Phi|^2-1)^2\big )$$

(zur Theorie ohne den Maxwell-Term). Das resultierende Modell heißt: das Chern-Simons-Higgs-Modell. Das Chern-Simons-Higgs-Modell zeigt Solitonenlösungen (Wirbel) (siehe Paul und Khare ) mit fraktionierter elektrischer Ladung und wird zur Erklärung des fraktionierten Quanten-Hall-Effekts verwendet.