Transfinite Rekursion und Ersetzung

Wenn$B$eine Menge ist, dann ist die Behauptung ersatzlos beweisbar. Beispielsweise die Menge aller Funktionen aus$\theta$Zu$B$ist eine Teilmenge von$\mathcal P(\theta\times B)$(dessen Existenz durch Vereinigung, Machtmenge und Trennung folgt). Also, wenn Sie die Union konstruieren möchten$f_\lambda$einiger Teilfunktionen$f_\beta$aus$\theta$Zu$B$, verwenden Sie einfach die Trennung$\mathcal P(\theta\times B)$und dann Union anwenden. (Für den Nachfolgefall verwenden wir Pairing und Union, um das Paar hinzuzufügen$\langle \alpha, F(\alpha, f_\alpha)\rangle$Zu$f_\alpha$). Wenn wir nicht davon ausgehen, dass die Reichweite von$F$ein Satz ist, dann haben wir folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Reklamation und Ersatz.

Der Einfachheit halber werde ich in einer Erweiterung von ZFC arbeiten - Ersatz durch Klassen. Ich gehe auch davon aus, dass die$G$in der Behauptung ist eine Mengenfunktion (die ich bezeichne$g$). Dann können wir zeigen, dass die Behauptung für$\theta$ist gleichbedeutend mit Ersatz von$\theta$- das heißt, es ist äquivalent zu:

(*) Wenn$F$ist dann eine Funktion auf den Ordnungszahlen$rng(F\upharpoonright \theta)$Ist ein Satz.

${\it Proof:}$Lassen Sie für die rtl-Richtung$F$eine Funktion auf den Ordnungszahlen sein. Dann definieren$F^*$An$\theta\times P$so dass$F^*(\langle \beta, x\rangle) = F(\beta)$. Dann gibt es nach der Behauptung eine eindeutige Mengenfunktion$g$An$\theta$so dass$g(\beta) = F(\beta)$, für alle$\beta<\theta$. Seit$g$Ist ein Satz,$rng(g) = rng(F\upharpoonright \theta)$Ist ein Satz.

Nehmen wir für die ltr-Richtung an, dass wir partielle Funktionen haben$f_\beta$auf alle$\beta<\lambda <\theta$. Dann lassen$F$Karte$\beta$Zu$f_\beta$naja, besorge dir einen Satz$f_\beta$'S. Bewerben Union bekommen wir$f_\lambda$. (Das Nachfolgegehäuse muss nicht ausgetauscht werden).$\Box$