Russell sagt in Principia Mathematica folgendes über sein Axiom der Unendlichkeit:
"Das Axiom der Unendlichkeit wird in einigen möglichen Welten wahr und in anderen falsch sein"
Er ist notorisch verlegen in Bezug auf seine Gültigkeit als Axiom und seine Verwendung in seinem logischen System wurde weitgehend als Ad-hoc - Manöver in der Sekundärliteratur abgelehnt (einige Russell-Gelehrte bieten eine Art Verteidigung an).
Meine Frage ist folgende:
Was waren Russells Gründe für die Annahme des Axioms – waren sie stichhaltig, und kann auf das Axiom verzichtet werden?
Ich nehme an, wir stimmen darin überein, dass das Axiom besagt, dass es mindestens eine induktive Menge gibt, also eine Menge X, die ∅ enthält, und mit jeder Menge x die Menge x ∪ {x}. Nun, ich nehme an, Russells Gründe für die Annahme dieses Axioms sind die des gewöhnlichen Mathematikers: Es passt zum Zweck der mengentheoretischen Darstellung mathematischer Objekte. Mit ein wenig Aussonderung liefert das Axiom die kleinste induktive Menge, die ein beeindruckender Ersatz für die Menge der natürlichen Zahlen ist. Darüber hinaus ist das Axiom die Grundlage für die Konstruktion der reellen Zahlen, wenn Dedekind schneidet. Wenn dies Russells Gründe sind, scheinen sie mir stichhaltig zu sein.
Kann man auf das Axiom verzichten? Nun, wenn die Frage ist, ob es ein Modell der Mengenlehre gibt, das sich aus ZFC ergibt, indem man das Axiom durch seine Negation ersetzt, dann ist die Antwort ja. Dieses Modell ist die Menge der erblich endlichen Mengen, dh die Mengen V i derart, dass V 0 ∅ ist und V n+1 die Potenzmenge von V n ist .
Aber wenn die Frage ist, ob ein solches Modell mathematisch schöne Eigenschaften hat, dann ist die Antwort klar nein. Beachten Sie, dass das obige Modell abzählbar ist. Aber die reellen Zahlen sind, wie Cantor gezeigt hat, nicht abzählbar. Es scheint also keine Möglichkeit zu geben, die Realitäten in einem solchen Universum theoretisch darzustellen.
Mauro ALLEGRANZA