Über Dichte und kontinuierliche und offene Funktion. [Duplikat]

Ich habe einen Satz wie diesen Satz gesehen: Wenn F : X ⟶ Y ist eine offene und kontinuierliche Funktion und D ist dicht drin Y , Dann F − 1 ( D ) ist dicht drin X .

Ist dieser Vorschlag richtig? wenn ja, hier ist mein Ansatz: if D ist dicht drin Y , dann für alle nicht leeren öffnen G In X , F ( G ) ∩ D ≠ ∅ Dann F − 1 ( F ( G ) ∩ D ) ≠ ∅ So F − 1 ( F ( G ) ) ∩ F − 1 ( D ) ≠ ∅ , Dann G ∩ F − 1 ( D ) ⊆ F − 1 ( F ( G ) ) ∩ F − 1 ( D ) . Wie kann ich das garantieren? G ∩ F − 1 ( D ) ≠ ∅ oder eine Lösung dafür?

Siehe die erste Antwort auf mathoverflow.net/questions/74415/…
@DouglasMolin Klicken Sie auf den Link "Teilen" der Antwort, zu der Sie einen Link erstellen möchten, um die URL der Antwort zu erhalten.
vielen Dank, aber welchen Teil genau muss ich in der ersten Antwort verwenden? Es gibt jedoch viele Äquivalenzen. @DouglasMolin
Kannst du es bitte erklären? @DouglasMolin
Wenn Sie wissen, dass bei einer offenen Karte das Urbild des Verschlusses der Verschluss des Urbildes ist (siehe Link), dann können Sie darauf schließen F − 1 ( D ) ¯ = F − 1 ( D ¯ ) = F − 1 ( Y ) = X , dh F − 1 ( D ) ist dicht.
Aww, ich habe mich total auf andere Schlussfolgerungen konzentriert, das ist der Fall, vielen Dank, Sir @DouglasMolin

Antworten (1)

Du weisst F [ G ] ∩ D ≠ ∅ durch Offenheit von F und Dichte von D und wenn X ∈ G so dass F ( X ) ∈ D (die vorhanden sein müssen) dann X ∈ G ∩ F − 1 [ D ] per definitionem damit F − 1 [ D ] tatsächlich alle nicht leeren offenen Teilmengen von schneidet X , nach Bedarf.

Das ist alles dazu.

Oder äquivalent können wir sagen, dass wenn U waren eine nicht leere offene Teilmenge von X und wenn U waren disjunkt von F − 1 D Dann F [ U ] wäre nicht leer, offen in Y , und disjunkt von D .
Vielen Dank, Herr @HennoBrandsma
Aber ist es nicht wahr, wenn die Funktion F ist eins zu eins? @DanielWainfleet?
@ Dans0804 Für U ∩ F − 1 [ D ] = ∅ ⟹ F [ U ] ∩ D = ∅ wir brauchen keine Annahme auf F überhaupt. Nur die Definitionen. Meine Lösung ist nur die kontrapositive Formulierung.
Ihre Lösung ist in Ordnung, Sir, aber verstehe ich es falsch? Wenn U ∩ F − 1 ( D ) = ∅ dann ja F ( U ∩ F − 1 ( D ) ) = ∅ So, F ( U ∩ F − 1 ( D ) ) ⊆ F ( U ) ∩ F ( F − 1 ( D ) ⊆ F ( U ) ∩ D ist es nicht so? wie können wir darauf schließen F ( U ) ∩ D = ∅ Wenn F ist nicht eins-zu-eins und auf? @HennoBrandsma
Über Dichte und kontinuierliche und offene Funktion. [Duplikat]
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