Übertragungsfunktion für diesen Transkonduktanz-Operationsverstärker

Das Lehrbuch ist richtig.

Lassen$R_{1\text{L}}$Und$R_{2\text{L}}$siehe ganz links$R_1$Und$R_2$, bzw. und$R_{1\text{R}}$Und$R_{2\text{R}}$siehe ganz rechts$R_1$Und$R_2$, bzw.

Die Spannung am invertierenden Eingang des Operationsverstärkers ist$V_- = V_{\text{in}}$, also der Strom durch$R_{1\text{L}}$Ist$V_{\text{in}}/R_{1\text{L}}$. Da im Idealfall kein Strom in den Eingang des Operationsverstärkers fließt, fließt der Strom$R_{2\text{L}}$ist auch$V_{\text{in}}/R_{1\text{L}}$.

Die Spannung über$R_{2\text{L}}$Ist

$$\frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}R_{2\text{L}}$$

nach dem Ohmschen Gesetz.

Die Spannung$V_M$am mittleren Knoten (am T-Schnittpunkt der Widerstände) ist also

$$V_M = V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}R_{2\text{L}} \tag1$$

Der Strom durch$R_{1\text{R}}$Ist$V_{M}/R_{1\text{R}}$. Der Strom durch$R_{2\text{R}}$ist dieser Strom plus der Strom durch$R_{2\text{L}}$:

$$\frac{V_{M}}{R_{1\text{R}}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}$$

also die Spannung darüber ist

$$\left(\frac{V_{M}}{R_{1\text{R}}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}\right)R_{2\text{R}}$$

Diese Spannung plus$V_M$Ist$V_{\text{out}}$:

$$V_{\text{out}} = V_M + \left(\frac{V_{M}}{R_{1\text{R}}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}\right)R_{2\text{R}} \tag2$$

Ersetzen$(1)$hinein$(2)$und das L und R aus den Indizes fallen lassen:

$$\begin{split}V_{\text{out}} &= V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1}}R_{2} + \left(\frac{V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1}}R_{2}}{R_{1}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1}}\right)R_{2} \\ &= V_{\text{in}}\left(1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{R_{2}^2}{R_{1}^2} + \frac{R_{2}}{R_{1}}\right) \\ &= V_{\text{in}}\left(1 + 3\frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{R_{2}^2}{R_{1}^2}\right)\end{split}$$

$$\boxed{\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = 1 + 3\frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{R_{2}^2}{R_{1}^2}}$$

Es werden nicht alle Schritte gezeigt, aber hoffentlich genug, um einen durch diesen interessanten Rundgang zu führen!

Annahmen:

1. Es fließt kein Strom in den negativen Eingangsanschluss des Operationsverstärkers.

2. Die Spannungsdifferenz zwischen den negativen und positiven Eingangsanschlüssen des Operationsverstärkers ist Null, daher ist die Spannung am negativen Eingangs-Opamp-Pin gleich Null$V_{in}$.

Der Strom „I“ kann wie folgt berechnet werden:

$I = \frac{V_{out}}{R_2+R_1||(R_1+R_2)}$

Strom durch den linken Widerstand$R_1$Ist:

$I_a = I \frac{R_1}{2R_1+R_2}$

Spannungsabfall über$V_{in}$wegen$I_a$Ist:

$V_{in} = I_a R_1 = I \frac{R_1^2}{2R_1+R_2}$

Somit:

$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{(2R_1+R_2)(R_2+R_1||(R_1+R_2))}{R_1^2}$

$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{2R_1R_2+R_2^2+R_1^2+R_1R_2}{R_1^2}$

$\frac{V_{out}}{V_{in}} = 1+3\frac{R_2}{R_1} + (\frac{R_2}{R_1})^2$