Ungefähre Wasserstoffdichte im [beobachtbaren] Universum

Lass das Universum vollständig aus Wasserstoff bestehen. Und wir haben auch Rotverschiebung$z= 6$. mit Hubble-Konstante$H_{0} = 2.1941747572815535\times 10^{-18}\:\mathrm{s}^{-1}$. Wir kennen auch diese Dichte des Universums$\rho =\frac{3H^2}{8\pi G}$($G= 6.67\times 10^{-11}\:\mathrm{m^3\ kg^{-1}\ s^{-2}}$).

Ist der folgende Ansatz richtig, um die Anzahldichte von Wasserstoff im Universum zu finden?

Zuerst berechnen wir die Dichte$\rho =\frac{3H^2}{8\pi G}$, dann haben wir$1+z = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$. Daraus bekommen wir$v = H\times R$und daraus berechnen wir$R$, der Radius des beobachtbaren Universums. Damit berechnen wir das Volumen des Universums$V = (4\pi/3)R^3$und wir bekommen die Messe$M=\rho V$. Dann berechnen wir die Anzahl der Wasserstoffatome mit$N = M/m_{\mathrm{hydrogen}}$. Jetzt haben wir die Zahlendichte von Wasserstoff$\rho = N/V$.

Ist diese Lösung richtig? Oder müssen wir es anders lösen?

_{Die Quelle der Frage ist die Nationale Olympiade des Iran, die nicht auf Englisch verfügbar ist, daher ist das Obige meine Übersetzung für die Frage.}