Unsicherheit der Polarkoordinaten

Ich versuche, eine Fehlerfortpflanzung durchzuführen, um den Fehler in Polarkoordinaten zu finden, beginnend mit kartesischen Koordinaten.

Unter Verwendung der Gleichungen, die in Hughes und Hase, " Measurements and their Uncertainties ", zu finden sind, komme ich zu einem endgültigen Fehler für den Rho-Wert in Polarkoordinaten wie folgt:

Rho-Fehler = X 2 + j 2 ⋅ 1 2 ⋅ | ( X 2 ⋅ 2 ⋅ | a X X | ) 2 + ( j 2 ⋅ 2 ⋅ | a j j | ) 2 X 2 + j 2 |

Ich hätte jedoch gedacht, dass der Fehler auf rho nicht von der x- und y-Koordinate abhängig sein sollte. Wenn zum Beispiel die kartesischen Koordinaten alle einen Fehler von hatten ± 1, was wäre der Fehler bei den Polarkoordinaten, sowohl Rho als auch Phi?

Dies ist ein Problem für mich, da ich es mit kartesischen Koordinaten zu tun habe, einige mit x- und y-Werten gleich Null, was bedeutet, dass ich einen Fehler bekomme.

Antworten (1)

Sie scheinen in Symbolen festgefahren zu sein. Mit

ρ = ( X 2 + j 2 ) 1 2

Sie bekommen, wrt zu X :

δ ρ = 1 2 ( X 2 + j 2 ) − 1 2 2 X δ X = X ρ δ X

mit j ein ähnliches Ergebnis liefern. Hinzufügen in Quadratur:

( δ ρ ) 2 = 1 ρ 2 [ X 2 ( δ X ) 2 + j 2 ( δ j ) 2 ]

Du kannst das auch schreiben als:

( δ ρ ) 2 = ( X ρ δ X ) 2 + ( j ρ δ j ) 2

so dass die Koordinatenabhängigkeit des Fehlers genau proportional zur Koordinatenabhängigkeit der Variablen ist.

Wenn die Unsicherheiten nicht von der Koordinate abhängen:

δ X = δ j ≡ Δ

Dann

( δ ρ ) 2 = 1 ρ 2 [ X 2 + j 2 ] Δ 2 = ρ 2 ρ 2 Δ 2 = Δ 2

Die andere Hälfte der Gesamtvarianz (ebenfalls von Magnitude Δ 2 ) ist orthogonal und geht in die über δ ϕ Teil mit einer Skalierung von ρ .

Beachten Sie, dass wenn X = 0 , Dann:

ρ = ± j

und ein Fehler drin X , D X , führt zu:

ρ ' = ( j + D X ) 1 2 = ρ ( 1 + D X 2 j 2 ) 1 2 ≈ ρ ( 1 + 1 2 D X 2 j 2 ) ≈ ρ

zum 1. Auftrag. Wenn die Unsicherheit die gleiche Größe wie die Koordinate hat, dann ist dies kein guter Schätzer ... natürlich, wenn dies der Fall ist, wird der 1-Sigma-Kreis den Ursprung enthalten oder nahe bei ihm sein, in diesem Fall alle Die Polarkoordinaten werden zu Recht unsicher sein.

Wenn das der Fall ist, dann ist es am besten, Ihr Ergebnis auf a zu zeichnen ρ − θ Zeichnen und zeigen Sie den 1-Sigma-Kreis. Wenn das keine Option ist, dann nehmen wir ein Monte Carlo für Ihr Finale ( X , j ) und fügen Sie jeweils Gaußsche Verteilungen hinzu (basierend auf σ X Und σ j ) und berechne a ρ Und ϕ Histogramme und treffen von dort aus Entscheidungen über Fehler.

Wenn Sie in der Nähe des Ursprungs sind, sollten Sie das finden ρ sieht nicht zu gaußsch aus (es wird verzerrt sein) und ϕ wird überall sein.

Wenn Sie Ihre Ergebnisse haben müssen ρ ¯ Und ϕ ¯ , es wird nicht gut aussehen, weil es von Natur aus eine schlechte Messung war.

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